-1に等しい2乗のiの原点

複素数の研究では、次の等式に出くわします。² = – 1.
この等式の正当化は、通常、負の平方根を持つ2次方程式を解くことに関連しています。これはエラーです。 式iの起源² = – 1は複素数の定義に現れますが、これも多くの疑問を引き起こします。 そのような平等の理由とそれがどのように生じるのかを理解しましょう。
まず、いくつかの定義を作成しましょう。
1. 実数（x、y）の順序対は、複素数と呼ばれます。
2. 複素数（x₁y₁）および（x₂y₂）は、xの場合にのみ等しい₁ = x₂ およびy₁ = y₂.
3. 複素数の加算と乗算は、次のように定義されます。
（バツ₁y₁）+（x₂y₂）=（x₁ + x₂y₁ + y₂)
（バツ₁y₁）*（バツ₂y₂）=（x₁*バツ₂ -y₁* y₂、 バツ₁* y₂ + y₁*バツ₂)
例1。 zを検討する₁ =（3、4）およびz₂ =（2、5）、zを計算する₁ + z₂ およびz₁* z₂.
解決：
z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z₁* z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
3番目の定義を使用すると、次のことを簡単に示すことができます。
（バツ₁、0）+（x₂、0）=（x₁ + x₂, 0)
（バツ₁、0）*（x₂、0）=（x₁*バツ₂, 0)
これらの等式は、加算および乗算演算に関して、複素数（x、y）が実数のように動作することを示しています。 このコンテキストでは、次の関係を確立できます：（x、0）= x。
この関係と記号iを使用して複素数（0、1）を表すと、次のように任意の複素数（x、y）を記述できます。
（x、y）=（x、0）+（0、1）*（y、0）= x + iy→これは複素数の正規形の呼び出しです。
したがって、通常の形式の複素数（3、4）は3 + 4iになります。
例2。 次の複素数を通常の形式で記述します。
a）（5、-3）= 5-3i
b）（– 7、11）= – 7 + 11i
c）（2、0）= 2 + 0i = 2
d）（0、2）= 0 + 2i = 2i
ここで、iを複素数（0、1）と呼んでいることに注意してください。 i2を作成するとどうなるか見てみましょう。
i =（0、1）であり、i² = i * i。 それに従ってください：

私² = i * i =（0、1）*（0、1）
定義3を使用すると、次のようになります。
私² = i * i =（0、1）*（0、1）=（0 * 0 – 1 * 1、0 * 1 + 1 * 0）=（0 – 1、0 + 0）=（– 1、0 ）
前に見たように、（x、0）= xの形式のすべての複素数。 したがって、
私² = i * i =（0、1）*（0、1）=（0 * 0 – 1 * 1、0 * 1 + 1 * 0）=（0 – 1、0 + 0）=（– 1、0 ）= –1。
私たちは有名な平等に到着しました² = – 1.

マルセロ・リゴナット
統計と数理モデリングのスペシャリスト
ブラジルの学校チーム

複素数 - 数学 - ブラジルの学校

ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm