三角行列：タイプ、行列式、演習

行列は三角形です 主対角より上の要素または主対角より下の要素がすべてnullの場合。 このタイプの行列には、2つの可能な分類があります。1つは、主対角線より上の要素がnullの場合で、下三角行列を設定します。 2つ目は、主対角線の下の要素がnullの場合で、上三角行列を設定します。

サラスの法則によって三角行列の行列式を計算するには、他の乗算はすべてゼロに等しいため、主対角乗算を実行するだけです。

あまりにも読んでください： 配列—それが何であるかと既存のタイプ

三角行列は、行列の特定のケースです。

三角行列タイプ

三角行列とは何かを理解するには、正方行列の主対角線が何であるかを覚えておくことが重要です。これは、同じ数の行と列を持つ行列です。 行列の主対角線は、用語aです。_ij、ここで、i = j、つまり、行番号が列番号と等しい項です。

例：

主対角線上の用語は赤で強調表示されています。

正方行列とは何か、その主対角線は何かを理解したら、三角行列とは何か、そしてその分類について教えてください。 三角行列には2つの可能な分類があります。 ザ・下三角行列と上三角行列.

• 下三角行列：主対角より上のすべての項がゼロに等しく、主対角より下の項が 実数.

数値例：

• 上三角行列： 主対角より下のすべての項がゼロに等しく、主対角より上の項が実数である場合に発生します。

数値例：

対角行列

対角行列は 三角行列の特定のケース. その中で、ゼロ以外の項は主対角線に含まれている項のみです。 主対角の上または下の項はすべてゼロに等しくなります。

対角行列の数値例：

三角行列の行列式

三角行列が与えられた場合、この行列の行列式を次のように計算するとき サラスの方法、主対角の項の乗算を除いて、すべての乗算がゼロに等しいことがわかります。

det（A）= a₁₁ ・a₂₂・a₃₃ +₁₂ ・a₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 -（₁₃ ・₂₃ ·0 +₁₁ ・a₂₃ · 0 +₁₂ · 0・a₃₃)

最初のものを除くすべての用語で、ゼロが要因の1つであり、すべてが要因であることに注意してください。 乗算 ゼロはゼロに等しいので、次のようになります。

det（A）= a₁₁ ・a₂₂・a₃₃

これは主対角の項の間の積であることに注意してください。

三角行列の行と列の数に関係なく、 行列式は常に主対角の項の積に等しくなります.

も参照してください： 行列式—正方行列に適用される機能

三角行列のプロパティ

三角行列にはいくつかの特定の特性があります。

• 1番目のプロパティ： 三角行列の行列式は、主対角の項の積に等しくなります。
• 2番目のプロパティ： 2つの三角行列の積は三角行列です。
• 3番目のプロパティ： 三角行列の主対角線の項の1つがゼロに等しい場合、その行列式はゼロに等しくなり、その結果、可逆ではなくなります。
• 4番目のプロパティ： 三角行列の逆行列も三角行列です。
• 5番目のプロパティ： 2つの上三角行列の合計は上三角行列です。 同様に、2つの下三角行列の合計は下三角行列です。

解決された演習

1）行列Aが与えられると、Aの行列式の値は次のようになります。

a）2

b）0

c）9

d）45

e）25

解決

代替案d。

この行列は下三角行列であるため、その行列式は主対角上の項の乗算です。

det（A）= 1・3・3・1・5 = 45

2）次のステートメントを判断します。

I→すべての正方行列は三角形です。

II→上三角行列と下三角行列の合計は常に三角行列です。

III→すべての対角単位行列は三角行列です。

正しい順序は次のとおりです。

a）V、V、V。

b）F、F、F。

c）F、V、F。

d）F、F、V。

e）V、V、F。

解決

代替案d。

I→False、すべての三角行列が正方形であるが、すべての正方行列が三角形であるとは限らないため。

II→False。上三角行列と下三角行列の合計が必ずしも三角行列になるとは限らないため。

III→対角線とは異なる項がゼロに等しいため、真。

ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生

ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm