מרחק בין שתי נקודות במרחב

ה מרחק בין שתי נקודות הוא אחד המושגים החשובים ביותר של גיאומטריה אנליטית. באמצעות תפיסה זו נבנות רוב ההגדרות והתכונות של דמויות גיאומטריות.

ה מרחק בין שתי נקודות זהו הקטע הקטן ביותר המחבר ביניהם. לפיכך, מציאת המרחק מסתכמת במדידת אורך קטע קו ישר.

בדרך כלל, בגיאומטריה אנליטית, המדדים של קטעים ישרים נעשים דרך משפט פיתגורס. באופן זה, אותו משפט משמש כדי להגיע לנוסחה לחישוב ה- מרחק בין שתי נקודות.

הפגנת פורמולה

שימו לב, באיור שלהלן, הנקודות A = (x_הy_ה, ז_ה) ו- B = (x_בy_ב, ז_ב). הצעד הראשון הוא לבנות את קטע הקטן ביותר של קו ישר שמחבר ביניהם. לשם כך, פשוט חבר אותם עם קו ישר.

ברגע שזה נעשה, צפו באיור מתחת לאותו קטע שנראה מלמעלה:

שים לב שהתצוגה העליונה מצמצמת את החלק הראשון של הבעיה ל- מרחק בין שתי נקודות על המטוס. נשתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את הריבוע שאורכו של קטע A'B ', הקרנה של AB אל מישור ה- xy. זכור, עם זאת, כי הצווארונים שיש לקחת בחשבון הם בגודל x_ב - איקס_ה ו- y_ב - y_ה.

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

ברגע שזה נעשה, נשתמש ב- משפט פיתגורס שוב כדי לחשב את אורך AB. שים לב ש- AB הוא ההיפוטנוזה של משולש ימני שבו A'B 'הוא רגל ובסיס (קטע זה מקביל ל

הקרנת קטע AB ויש לו אותו גודל) ו- z_ב - ז_ה היא הרגל השנייה והגובה.

לפיכך, על פי משפט פיתגורס, יש לנו:

בכך מסתיימת ההפגנה, לאחר שנמצא אורך קטע AB.

נוסחת המרחק בין שתי נקודות בחלל

מהחישובים לעיל, מרחק בין שתי נקודות במרחב, מסומן על ידי ד_א.ב., מוגדר כדלקמן:

כדי להשתמש בנוסחה זו, פשוט החלף את הערכים המספריים של הקואורדינטות של הנקודות A ו- B ובצע את החישובים. עיין בדוגמה:

חשב את המרחק בין נקודות A = (0,2.2) ו- B = (-2, 0, 1):

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:

סילבה, לואיז פאולו מוריירה. "מרחק בין שתי נקודות במרחב"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos-no-espaco.htm. גישה אליו ב -28 ביוני 2021.