מערכת משוואה לתואר ראשון ושני

מערכות משוואות אינן אלא אסטרטגיות המאפשרות לנו לפתור בעיות ומצבים הכוללים יותר ממשתנה אחד ולפחות שתי משוואות. אם המשוואות הקיימות במערכת כוללות רק את חיבור וה חִסוּר מהלא ידועים אנו אומרים שזה א מערכת משוואה מדרגה 1. אנו יכולים לפתור מערכת זו בשתי דרכים באמצעות ייצוג גרפי או באופן אלגברי. בצורה אלגברית, יש לנו שתי חלופות, השיטה של חיבור או מ תַחֲלִיף.

במקרה של א כֶּפֶל בין האלמונים או, בפשטות, שאחד מהם מופיע ככוח מעריכי 2אנו אומרים כי המערכת כוללת גם משוואות מדרגה 2. כדי לפתור מערכת כזו, האסטרטגיות זהות כאמור לעיל, אך יתכן שישנם פתרונות נוספים במקרה זה.

בואו נסתכל על כמה דוגמאות לפתרון מערכות של משוואות מדרגה 1 ו -2:

דוגמה ראשונה:

שים לב שבדוגמא זו המשוואה x · y = 15 מספק מוצר בין הלא ידועים איקס ו yאז זו משוואת מדרגה 2. כדי לפתור את זה, בואו נשתמש ב- שיטת החלפה. במשוואה השנייה נבודד איקס:

2x - 4y = - 14
2x = 4y - 14
x = 4y - 14
2
x = 2y - 7

עכשיו נחליף x = 2y - 7 במשוואה הראשונה:

x · y = 15
(2y - 7) · y = 15
2y² - 7y - 15 = 0

כדי למצוא ערכים אפשריים עבור y, נשתמש בנוסחה של בהאסקרה:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169

y = - b ± √Δ​
2

y = – (– 7) ± √169
2.2

y = 7 ± 13
4

y1 = 7 + 13 4 y1 = 20 4 y1 = 5

y2 = 7 – 13 4 y2 = – 6 4 y2 = – 3 2

כעת אנו יכולים להחליף את הערכים שנמצאו עבור y ב x · y = 15 על מנת לקבוע את הערכים של איקס:

איקס1 · Y1 = 15 איקס1 · 5 = 15 איקס1 = 15 5 איקס1 = 3

איקס2 · Y2 = 15 איקס2 · (– 3) = 15 2  איקס2 = 15. (– 2) 3 איקס2 = – 10

אנו יכולים לומר כי למשוואה יש שני פתרונות מהסוג (x, y), האם הם: (3, 5) ו (– 10, ^{– 3}/₂).

דוגמה שנייה:

כדי לפתור מערכת זו, נשתמש ב- שיטת תוספת. לשם כך, נכפיל את המשוואה הראשונה ב – 2. המערכת שלנו תיראה כך:

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

(- 2x² + 2x²) + (- 4y² - 3y²) = (- 178 + 150)
0x² - 7y² = - 28
7y² = 28
y² = 28
7
y = ± √4
y₁ = + 2
y₂ = – 2

כעת אנו יכולים להחליף את הערכים שנמצאו עבור y במשוואה הראשונה על מנת להשיג את הערכים של איקס:

x² + 2y1² = 89 x² + 2. (2) ² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 איקס1 = + 9 איקס2 = – 9

x² + 2y2² = 89 x² + 2. (- 2) ² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 איקס3 = + 9 ​איקס4 = – 9

אנו יכולים לומר כי למשוואה יש ארבעה פתרונות: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) ו (– 9, – 2).

דוגמה שלישית:

בפתרון מערכת משוואות זו, נשתמש ב- שיטת החלפה. במשוואה השנייה, בואו נתבודד איקס:

2x - 3y = 2
2x = 3y + 2
x = 3y + 2
2
x = 3y + 1
2

נחליף איקס במשוואה הראשונה:

x² + 2y² = 1
(^3y/₂ + 1) ² + 2y² = 1
9 מ"ר + 3y + 1 + 2y² = 1
4

נכפיל את כל המשוואה ב 4:

9y² + 12 y + 4 + 8y² = 4
17y² + 12y = 0

כדי למצוא ערכים אפשריים עבור y, בואו נשתמש בנוסחה של בהאסקרה:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = 12² – 4.17. 0
Δ = 144
y = - b ± √Δ​
2
y = – 12 ± √144
2.17
y = – 12 ± 12
34

י1 = – 12 + 12 34 y1 = 0 34 y1 = 0

y2 = – 12 – 12 34 y2 = – 24 34 y2 = – 12 17

החלפת ערכים שנמצאו עבור y ב 2x - 3y = 2, אנו יכולים לקבוע את הערכים של איקס:

2x - 3y1 = 2 2x - 3 · 0 = 2 2x - 0 = 2 x = 2 2 איקס1 = 1

2x - 3y2 = 2 2x - 3 · (^– 12/17)= 2 2x + 36 = 2  17 2x = 2 – 36 17 2x = - 2 17 איקס2 = – 1 17

אנו יכולים לומר כי למשוואה יש שני פתרונות מהסוג (x, y), האם הם: (1, 0) ו (^{– 1}/₁₇, ^{– 12}/₁₇).

מאת אמנדה גונסאלבס
בוגר מתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:

RIBEIRO, אמנדה גונסאלבס. "מערכת משוואות תואר ראשון ושני"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-equacoes-1-o-2-o-grau.htm. גישה אליו ב -28 ביוני 2021.