מוצקי אפלטון: מה הם, תנאים, תרגילים

כשאנחנו לומדים רב-פעולות, אנו נתקלים ב מוצקי אפלטון כמקרה מסוים. כדי להיות מוצק אפלטון, על המדרדר לעמוד בשלושה תנאים:

• להיות קמור;

• לכל הפרצופים יש אותה כמות קצוות;

• כל הקודקודים הם קצוות של אותו מספר קצוות.

כמה פילוסופים ביקשו להבין את מקור היקום, ואפלטון ראה את זה גיאומטריה מרחבית ההסבר למקור זה. המוצקים של אפלטון הם:

• אַרְבָּעוֹן;

• משושה;

• אוקטהדרון;

• דודקהדרון;

• איקוזהדרון.

כולם נחשבים לפוליגונים רגילים, כשלהם הקצוות ופניהם כולם תואמים. מוצקי אפלטון מכבדים את מערכת היחסים של אוילר, שמפרט את מספר הקודקודים, הפנים והקצוות לפי הנוסחה V + F = A + 2.

קרא גם: מה ההבדלים בין דמויות שטוחות ומרחביות?

המוצקים של אפלטון

פולידרה רגילה

החיפוש אחר רב פגמים רגילים חוזר על עצמו, מכיוון שקל יותר לעבוד איתם. רב-כיוון מסווג כרגיל אם הוא יש את כל הפרצופים שנוצרו על ידי אותו דבר מְצוּלָע חוֹפֵף. כאשר זה קורה, ה- זוויות וגם הקצוות הם תואמים.

המוצקים של אפלטון הם מקרים מסוימים של פולידררה רגילה. לקוביה, למשל, שהיא מוצקה של אפלטון, כל פניה נוצרות על ידי ריבועים חופפים. מחמשת המוצקים של אפלטון, שלוש נוצרות על ידי פרצופים משולשים עם משולשים חופפים, האחד נוצר על ידי פרצופים מרובעים והשני נוצר על ידי פרצופים מחומשים.

מהם המוצקים של אפלטון?

אפלטון היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני. הוא תרם תרומות רבות למתמטיקה ובניסיון להבין את היקום, מוצקים הקשורים לאלמנטים של הטבע.

כדי להיות מוצק אפלטוני, הפולידרון חייב להיות רגיל וקמור. ישנם רק חמישה מוצקים העונים על הגדרה זו. הם: הטטרהדרון, הקוביה או המשושה, האוקטדרון, האיקושהדרון והדודקהדרון.

היחסים בין יסוד הטבע למוצק היו:

• אַרְבָּעוֹן - אש

• משושה - כדור הארץ

• אוקטהדרון - אוויר

• איקוזהדרון - מים

• דודקהדרון - קוסמו או יקום

להיות מוצק אפלטון, או פֵּאוֹן גם צריך להיות קמור, על כל הפרצופים להיות בעלי אותו מספר קצוות וכל הקודקודים חייבים להיות קצוות של אותו מספר קצוות.

ראה גם: אבני אבנים - מוצקים גיאומטריים הנוצרים על ידי פרצופים שטוחים ומצולעים

• טטרהדרון רגיל

הטטרהדרון הרגיל הוא פולידרון זה יש לו 4 פרצופים, שמצדיק את שמו (טטרה = ארבע). כל הפרצופים שלך הם נוצרו על ידי משולשים. זה בצורת א פִּירָמִידָה של בסיס משולש והיא ידועה כפירמידה של בסיס רגיל, מכיוון שכל פניו חופפים. יש לו בסך הכל 4 פרצופים (במתכונת של משולש שווה צלעות), 4 קודקודים ו -6 קצוות.

אם אתה רוצה לבנות טטרהדרון רגיל משלך, פשוט הורד והדפס את קובץ ה- PDF פה.

• קוביה רגילה או משושה

המשושה הרגיל יש 6 פרצופים, שמצדיק את שמו (hex = שש). הפרצופים שלך כולם כיכר. היא ידועה גם כקוביה ויש לה 6 פנים, 12 קצוות ו -8 קודקודים.

אם אתה רוצה לבנות קוביה משלך, פשוט הורד והדפס את קובץ ה- PDF פה.

• אוקטהדרון

כמו הקודמים, השם מקושר למספר הפנים, ומכאן לאוקטורה בעל 8 פרצופים. לפנים האלה יש צורת משולש שווה צלעות. לשמינית 8 פרצופים, 12 קצוות ו -6 קודקודים.

אם אתה רוצה לבנות שמינית משלך, פשוט הורד והדפס את קובץ ה- PDF פה.

• איקוזהדרון

האיקוסהדרון כולל סך של 20 פרצופים. פניהם מעוצבים כמו משולשים שווי צלעות, ממש כמו האוקטהטרון. יש לו בסך הכל 20 פנים, 30 קצוות ו -12 קודקודים.

אם ברצונך לבנות איקוסהדרון משלך, פשוט הורד והדפס את קובץ ה- PDF פה.

• דודקהדרון

הדודדרון הוא האחרון ממוצקי אפלטון. יש לו בסך הכל 12 פנים וזה נחשב ל הרמונית יותר בין חמשת המוצקים האפלטוניים. בפניהם צורה של מחומשים. הוא כולל 12 פרצופים, 30 קצוות ו -20 קודקודים.

אם אתה רוצה לבנות את הדודדרון שלך, פשוט הורד והדפס את ה- PDF פה.

גישה גם: צילינדר - מוצק גיאומטרי שנוצר על ידי שני פנים מעגליים מקבילים ובמישורים שונים

הנוסחה של אוילר

רב-שכבות אוילריות הן רב-קומות קמורות. אוילר פיתח נוסחה המתייחסת למספר הפרצופים (F), מספר הקודקודים (V) ומספר הקצוות (A) ברבייה קמורה. כל מוצקי אפלטון מספקים את יחס אוילר.

V + F = A + 2

ניתוח הנוסחה, אז אפשר לחשב מספר הקודקודים ממספר הפרצופים והקצוות, או מספר הפרצופים ממספר הקודקודים והקצוות, בקיצור, לדעת שני אלמנטים שלה, תמיד אפשר למצוא את השלישי.

• דוגמא:

בידיעה שיש לרב-כיוון 8 קודקודים ו -12 קצוות ושהוא רגיל, כמה פנים יש לו?

אנו יודעים כי V + F = A + 2

V = 8

A = 12

8 + F = 12 + 2

8 + F = 14

F = 14 - 8

F = 6

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - (האויב 2016) מוצקיו של אפלטון הם רב קומות קמורות שפניהן כולן תואמות מצולע אחד רגיל, לכל הקודקודים יש אותו מספר קצוות אירועים וכל קצה משותף לשניים בלבד. פרצופים. הם חשובים, למשל, בסיווג צורות הגבישים המינרליים ובהתפתחות אובייקטים שונים. כמו כל הפולידרדרים הקמורים, מוצקי אפלטון מכבדים את יחס אוילר V - A + F = 2, כאשר V, A ו- F הם מספר הקודקודים, הקצוות והפרצופים של הרבייה, בהתאמה.

בקריסטל, שצורתו היא של רב-העץ של אפלטון בעל משולש פנים, מה הקשר בין מספר הקודקודים למספר הפרצופים?

א) 2V - 4F = 4

ב) 2V - 2F = 4

C) 2V - F = 4

ד) 2V + F = 4

ה) 2V + 5F = 4

פתרון הבעיה

חלופה ג '. מכיוון שהפרצופים משולשים, אנו יודעים שלכל פנים ישנם 3 קצוות. עם זאת, כדי לקשר את מספר הקצוות למספר הפנים, חשוב לזכור שכל קצה מכיל על שני פנים, מכיוון שהמפגש של שני פנים מהווה קצה, כך שנוכל להתייחס לקצה לפנים במקרה זה לְכָל:

לאחר היחס של אוילר כ- V - A + F = 2 ומחליף את A, עלינו:

שאלה 2 - מהחלופות שלהלן, שפט איזה מהם אינו מוצק אפלטון.

א) קוביה

ב) טטרהדרון רגיל

ג) איקוזהדרון

ד) דודקהדרון

ה) קונוס

פתרון הבעיה:

חלופה E. מבין החלופות, היחיד שאינו תואם מוצק אפלטון הוא קוֹנוּס.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm