המעגל הטריגונומטרי הוא מעגל של רדיוס 1 המיוצג ב- מטוס קרטזי. בו הציר האופקי הוא ציר הקוסינוס והציר האנכי הוא ציר הסינוס. אפשר לקרוא לזה גם מחזור טריגונומטרי.
הוא משמש לביצוע המחקר של יחסים טריגונומטריים. בעזרתו ניתן להבין טוב יותר את הסיבות הטריגונומטריות העיקריות לכך זוויות יותר מ -180 מעלות, כלומר: הסינוס, הקוסינוס והמשיק.
קרא גם: 4 הטעויות הנפוצות ביותר בטריגונומטריה בסיסית
שלב אחר שלב לבניית המעגל הטריגונומטרי
לבניית המעגל הטריגונומטרי, אנו משתמשים בשני צירים, אחד אנכי ואחד אופקי, כמו מישור קרטזי. הציר האופקי מכונה ציר קוסינוס, והציר האנכי מכונה ציר סינוס.
עם בניית הצירים, בואו נצייר את הגרף של עיגול שיש לו רדיוס 1.
יחסים טריגונומטריים במעגל
אנו משתמשים במעגל כדי למצוא את הערך של ה- סינוס, קוסינוס ומשיק, על פי ערך הזווית. שיש ב ציר אנכי ערך הסינוס ועל הציר האופקי ערך הקוסינוס, על ידי קביעת זווית במעגל הטריגונומטרי, ניתן למצוא את הערך של סינוס וקוסינוס על ידי ניתוח קואורדינטות של הנקודה שבה קטע הקו מחבר את מרכז המעגל ואת ההיקף, המיוצג על ידי P בתמונה a לעקוב אחר. אם נשרטט את קו המשיק למעגל בנקודה (1.0), נוכל גם לחשב את המשיק של זווית זו באופן אנליטי על פי התמונה:
קרא גם: מה הם סיקנט, קוסקאנט וקוטנגנטי?
רדיאנים של מעגל טריגונומטרי
אנו יודעים שניתן למדוד קשת באמצעות שתי יחידות מדידה שונות: המידה במעלות והמידה ב רדיאנים. אנחנו יודעים את זה ההיקף הוא 360 מעלות וכי אורך הקשת שלך הוא 2π:
רביעי המעגל הטריגונומטרי
בין אם ברדיאנים ובין אם במעלות, ניתן להגדיר את הרבע בו ממוקמת קשת נתונה על פי המדידה שלה.
ניתוח המחזור עלינו:
הרבע הראשון: זוויות שבין 0 ל 90 ° או 0 ו- π / 2 רדיאנים;
הרבע השני: זוויות הנמצאות בין 90 ° ל 180 ° או רדיאנים π / 2 ו- π;
הרבע השלישי: זוויות שבין 180 ° ל -270 ° או π ו- 3 π / 2 רדיאנים;
הרבע הרביעי: זוויות שנמצאות בין 270 ° ל -360 ° או 3π / 2 ו- 2π רדיאנים.
קרא גם: תכנן מאפיינים ותכונות
זוויות ראויות לציון במעגל הטריגונומטרי
בתחילת המחקר של טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה, למדנו שהזוויות הבולטות הן הזוויות של 30º, 45º ו- 60º, שיש להן ערך הסינוס, הקוסינוס והמשיק הידועים. עם זאת, בשל הסימטריה של המחזור הטריגונומטרי, אפשר למצוא את ערכי הסינוס והקוסינוס לזוויות אלו ולזוויות הסימטריות אליו בכל אחד מהרבעים.
שלטי מעגל טריגונומטריים
כדי להבין מה הסימן של כל אחד מהיחסים הטריגונומטריים במחזור, מספיק לנתח את ערכי הציר במישור הקרטזיאני.
נתחיל בקוסינוס. מכיוון שזהו הציר האופקי, קוסינוס הזוויות הכלול מימין לציר האנכי הוא חיובי, וקוסינוס הזוויות הכלול משמאל לציר האנכי הוא שלילי.
כעת, כדי להבין את סימן הסינוס של זווית, רק זכרו שהציר האנכי הוא ציר הסינוס, ולכן הסינוס של זווית הנמצאת מעל הציר האופקי הוא חיובי; אך אם הזווית היא מתחת לציר האופקי, הסינוס של זווית זו הוא שלילי, כפי שמוצג בתמונה הבאה:
אנחנו יודעים את זה המשיק הוא היחס בין הסינוס לקוסינוסואז, כדי למצוא את סימן המשיק עבור כל אחד מהרביעים, אנו משחקים את משחק הסימנים, מה שהופך את המשיק לחיובי ברביעים המוזרים ושלילי ברבעים השווים:
קרא גם: מהם חצי ישר, חצי מישורי וחצי חלל?
סימטריה במעגל
ניתוח המחזור הטריגונומטרי, אפשר לבנות דרך להפחית את הסינוס, הקוסינוס והמשיק לרבע הראשון. פירושו של צמצום זה למצוא ברבע הראשון זווית שהיא סימטרית לזווית של הרבעים האחרים, מכיוון שכאשר אנו עובדים בזווית סימטרית, הערך של היחסים הטריגונומטריים זהה ומשנה רק את אוֹת.
צמצום של זווית שנמצאת ברבע השני לרבע הראשון
החל מהזוויות שנמצאות ברבע השני, עלינו:
כידוע, ברבע הראשון והשני הסינוס הוא חיובי. לכן, כדי לחשב את הפחתת הסינוס מהרבע השני לרבע הראשון, אנו משתמשים בנוסחה:
חטא x = חטא (180º - x)
הקוסינוס והמשיק ברבע השני הם שליליים. כדי להפחית את הקוסינוס מהרבע השני לרבע הראשון, אנו משתמשים בנוסחה:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
דוגמא:
מה הערך של הסינוס והקוסינוס של זווית של 120 °?
זווית 120 ° היא זווית שנייה של הרבע שכן היא בין 90 ° ל -180 °. כדי להפחית זווית זו לרבע הראשון, אנו מחשבים:
חטא 120 ° = חטא (180 ° - 120 °)
חטא 120º = חטא 60º
זווית 60 ° היא זווית יוצאת דופן, כך שערך הסינוס שלה ידוע, כך:
עכשיו בואו נחשב את הקוסינוס שלך:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
כפי שאנו מכירים את הקוסינוס של שנות ה -60, עלינו:
צמצום של זווית שנמצאת ברבע השלישי לרבע הראשון
כמו ברבע השני, יש סימטריה בין זוויות ברבע השלישי לזוויות ברבע הראשון.
הסינוס והקוסינוס ברבע השלישי הם שליליים. לכן, כדי להפחית סינוס וקוסינוס מהרבע השלישי לרבע הראשון, אנו משתמשים בנוסחה:
sin x = - sin (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
המשיק ברבע השלישי הוא חיובי. כדי להפחית את זה, אנו משתמשים בנוסחה:
tg x = tg (x - 180º)
דוגמא:
חשב את הסינוס, הקוסינוס והמשיק של 225 מעלות.
sin 225º = - sin (225º - 180º)
חטא 225º = - חטא 45º
מכיוון ש- 45º היא זווית יוצאת דופן, בעת התייעצות עם הטבלה עלינו:
כעת, בחישוב הקוסינוס, עלינו:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
אנו יודעים כי tg45º = 1, אז:
tg 225º = 1
צמצום של זווית שנמצאת ברבע הרביעי לרבע הראשון
עם אותה הנמקה כמו ההפחתות הקודמות, קיימת סימטריה בין הרביע הרביעי וה -1:
ערכי הסינוס והמשיק ברבע הרביעי הם שליליים. לכן, כדי להפוך את ההפחתה מהרבע הרביעי לרביע הראשון, אנו משתמשים בנוסחה:
sin x = - sin (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
הקוסינוס ברבע הרביעי הוא חיובי. לכן, כדי לצמצם את הרבע הראשון, הנוסחה היא:
cos x = cos (360º - x)
דוגמא:
חשב את ערך הסינוס והקוסינוס של 330 מעלות.
החל מהסינוס:
עכשיו מחשבים את הקוסינוס:
קרא גם: כיצד לחשב מרחק בין שתי נקודות במרחב?
תרגילי פתרונות של מעגל טריגונומטרי
שאלה 1 - במהלך חקר הרגע המעגלי, פיזיקאי ניתח אובייקט שמסתובב סביב עצמו ויוצר זווית של 15,240 מעלות. ניתוח הזווית הזו, הקשת שנוצרה על ידיה היא ב:
א) רבע I.
ב) רבע II.
ג) רבע III.
ד) רבע IV.
ה) על גבי אחד הצירים.
פתרון הבעיה
חלופה ב '
אנו יודעים שכל 360 ° האובייקט הזה השלים מעגל סביב עצמו. בעת ביצוע ה- חֲלוּקָה של 15,240 על 360, נגלה כמה סיבובים שלמים אובייקט זה עשה סביב עצמו, אך העניין העיקרי שלנו הוא בשאר, המייצג את הזווית בה נעצר.
15.240: 360 = 42,333…
התוצאה מראה שהוא עשה 42 סיבובים סביב עצמו, אבל 360 · 42 = 15.120, אז הוא השאיר זווית של:
15.240 – 15.120 = 120º
אנו יודעים ש -120 ° היא זווית שנייה של הרבע.
שאלה 2 - אנא שפט את ההצהרות הבאות:
I → בחישוב tg 140º, הערך יהיה שלילי.
II → הזווית של 200 ° היא זווית של הרבע השני.
III → Sen 130º = sin 50º.
סמן את החלופה הנכונה:
א) רק אני שקרי.
ב) רק II אינו נכון.
ג) רק III אינו נכון.
ד) הכל נכון.
פתרון הבעיה
חלופה ב '
I → נכון, מכיוון שזווית 140 ° שייכת לרבע השני, בו המשיק הוא תמיד שלילי.
II → False, שכן זווית 200 ° היא זווית של הרבע השלישי.
III → נכון, מכיוון שכדי להקטין זווית מהרביע השני לרביע הראשון, פשוט חישבו את ההפרש של 180 ° - x ואז:
חטא 130 ° = חטא (180 ° - 130 °)
חטא 130 = חטא 50
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm
