זווית בין שני וקטורים

וקטורים הם עצמים מתמטיים האחראים לתיאור מסלול הנקודות. פעמים רבות, נקודות אלה מייצגות אובייקטים קונקרטיים בתנועה, אותם לומדים בפיזיקה. כאשר בוחנים את הכוחות המעורבים בהנעת (למעשה או בפוטנציאל) אובייקט, הפיזיקה עושה שימוש בווקטורים כדי לייצג אותם. הזווית שהווקטורים הללו יוצרים היא חלק מכריע בחישובים, כווריאציה קטנה בזווית עשוי לדרוש יותר כוח להפעלת אובייקט כדי שהוא יתחיל או יישאר בו תְנוּעָה.

וקטורים מיוצגים בצורה גיאומטרית על ידי חיצים, המכוונים קווים ישרים. לפיכך, קצה אחד של הקטע מציין את המיקום הסופי של הנקודה שהועברה, והקצה השני אינו מסומן, דבר המצביע על כך שהתנועה החלה שם. נקודת המיקום של נקודות הקצה משמשת בדרך כלל לזיהוי וקטור שמתחיל במקור מערכת קואורדינטות. בהתחשב במישור הקרטזיאני כמערכת הקואורדינטות, וקטור v, המתחיל בנקודה (0,0) וכלה בנקודה (a, b), מיוצג רק כ וקטור v = (a, b). אם הווקטור מתחיל בנקודה אחרת, פשוט העבירו אותו למקום המתאים.

וקטור במישור הקרטזיאני

מכיוון שמדובר בקווים ישרים מכוונים, ניתן לחשב את אורכם, הנקרא נורמה וקטורית. חישוב הנורמה של הווקטור ניתן באותו אופן כמו מרחק בין שתי נקודות

והוא שווה ערך לחישוב המודול של מספר ממשי. בדרך זו, נורמת הווקטור v = (a, b) מסומנת על ידי | v | וניתן לחשב אותם באופן הבא:

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

בהתחשב בשני וקטורים v = (a, b) ו- u = (a ', b'), ה- תוצר מקומי ביניהם מסומן על ידי וניתן על ידי הביטוי הבא:

= a · a '+ b · b'

תוצר הנקודה בין שני וקטורים מוגדר גם דרך הזווית ביניהם. הגדרה זו מאפשרת לחשב את הזווית בין שני וקטורים.

זווית בין שני וקטורים

לפיכך, אם לוקחים את אותם הווקטורים v ו- u, הקוסינוס של הזווית θ ביניהם ניתן על ידי הביטוי הבא:

cosθ =
| v | · | u |

עם נתונים אלה, הגדרות, ובאופן מסוים, נוסחאות, ניתן לצייר אסטרטגיה לחישוב הזווית בין שני וקטורים.

בהתחשב בווקטורים v = (2,2) ו- u = (0.2), נחשב את הזווית ביניהם. לשם כך, תחילה תחשב את הנורמה של כל וקטור ואת המוצר שבין הנורמות הבאות:

| v | = √ (2² + 2²)
| v | = √ (4 + 4)
| v | = √8

| u | = √ (0² + 2²)
| u | = √ (0 + 4)
| u | = √4

| v | · | u | = √8 · √4
| v | · | u | = 4√2

לאחר מכן, חישב את המוצר הפנימי בין v ל- u:

= 2·0 + 2·2
= 0 + 4
= 4

לבסוף, השתמש בנוסחת הזווית בין הווקטורים לחישוב cosθ ו- a טבלת ערכי קוסינוס כדי למצוא את הערך של θ.

cosθ =
| v | · | u |

cosθ =  4
4√2

cosθ =  4
4√2

cosθ =  2
√2

cosθ = √2
2

θ = 45°

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:

סילבה, לואיז פאולו מוריירה. "זווית בין שני וקטורים"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/Angulo-entre-dois-vetores.htm. גישה אליו ב -27 ביוני 2021.