מהם קבוצות מספריות?

סטים מספריים הם אוספי מספרים בעלי מאפיינים דומים. הם נולדו כתוצאה מצורכי האנושות בתקופה היסטורית מסוימת. לראות מה הם!

סט מספרים טבעיים

הסט של מספרים טבעיים זה היה הראשון שנשמע. זה נולד מהצורך הפשוט לעשות ספירות, ולכן האלמנטים שלו הם רק מספרים שלמים ולא שליליים.

מיוצג על ידי N, קבוצת המספרים הטבעיים כוללת את האלמנטים הבאים:

נ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}

סט שלמים

הסט של מספרים שלמים זהו הרחבה של מערך המספרים הטבעיים. הוא נוצר על ידי הצטרפות לקבוצת המספרים הטבעיים עם מספרים שליליים. במילים אחרות, לקבוצת המספרים השלמים, המיוצגת על ידי Z, יש את האלמנטים הבאים:

ז = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

סט מספרים רציונליים

הסט של מספר רציונלי נולד מהצורך לחלק כמויות. אז זהו מערך המספרים שניתן לכתוב כשבר. מיוצג על ידי Q, קבוצת המספרים הרציונליים כוללת את האלמנטים הבאים:

ש = {x ∈ Q: x = a / b, a ∈ Z ו- b ∈ N}

ההגדרה לעיל נקראת כדלקמן: x שייך לרציונלים, כך ש- x שווה ל- ה מחולק ב ב, עם ה השייכים למספרים השלמים ו ב השייכים לטבעי הטבע.

במילים אחרות, אם זה שבר או מספר שניתן לכתוב כשבר, אז זה מספר רציונלי.

המספרים שניתן לכתוב כשבר הם:

1 - כל המספרים השלמים;

2 - עשרוניות סופיות;

3 - מעשר תקופתי.

עשרונים סופיים הם אלה שיש להם מספר סופי של מקומות עשרוניים. שעון:

1,1

2,32

4,45

עשרונים תקופתיים הם אינסוף עשרוני, אך הם חוזרים על הרצף הסופי של המקומות העשרוניים שלהם. שעון:

2,333333...

4,45454545...

6,758975897589...

סט מספרים לא רציונליים

ההגדרה של מספרים אי - רציונליים תלוי בהגדרת המספרים הרציונליים. לכן, כל המספרים שאינם שייכים למכלול הרציונלים שייכים למכלול המספרים הלא רציונליים.

באופן זה, או שמספר הוא רציונלי או שהוא לא רציונלי. אין אפשרות שמספר ישתייך לשתי קבוצות אלה בו זמנית. באופן זה, קבוצת המספרים הלא רציונליים משלימה למכלול המספרים הרציונליים ביקום המספרים האמיתיים.

דרך נוספת להגדיר את קבוצת המספרים הלא רציונליים היא כדלקמן: המספרים הלא רציונליים הם אלה ש לא ניתן לכתוב בצורת שבר. האם הם:

1 - עשרוניות אינסופיות

2 - שורשים לא מדויקים

עשרונים אינסופיים הם מספרים בעלי מקומות עשרוניים אינסופיים ואינם מעשר תקופתי. לדוגמה:

0,12345678910111213...

π

√2

סט מספרים אמיתיים

הסט של מספרים אמיתיים נוצר על ידי כל המספרים שהוזכרו לעיל. הגדרתו ניתנת על ידי האיחוד בין קבוצת המספרים הרציונליים לבין מכלול המספרים הלא רציונליים. מיוצג על ידי R, ניתן לכתוב באופן מתמטי קבוצה זו באופן הבא:

ר = Q U I = {Q + I}

אני הוא קבוצת המספרים הלא רציונליים. באופן זה, כל המספרים שהוזכרו לעיל הם גם מספרים אמיתיים.

סט מספרים מורכב

הסט של מספרים מסובכים הוא נולד מהצורך למצוא שורשים שאינם אמיתיים של משוואות מעלות הגדולות או שוות ל -2. כשמנסים לפתור את משוואת x² + 2x + 10 = 0, למשל, באמצעות הנוסחה של בהאסקרה, יהיה לנו:

איקס² + 2x + 10 = 0

a = 1, b = 2 ו- c = 10

? = 2² – 4·1·10

? = 4 – 40

? = – 36

אילו משוואות מדרגה שנייה יש להן? ל <0 אין שורשים אמיתיים. כדי למצוא את שורשיהם נוצרה קבוצת המספרים המורכבים כך ש- √ – 36 = √36 · (–1) = 6 · √– 1 = 6i.

האלמנטים של קבוצת המספרים המורכבים, המיוצגים על ידי C, מוגדרים כדלקמן:

z הוא מספר מורכב אם z = a + bi, כאשר a ו- b הם מספרים ממשיים ו- i = √– 1.

הקשר בין קבוצות מספריות

קבוצות מספרי מסוימות הן קבוצות משנה של אחרות. חלק מהקשרים הללו הודגשו לאורך הטקסט, אולם עם זאת, כולם יוסברו להלן:

1 - קבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצת משנה של קבוצת המספרים השלמים;

2 - קבוצת המספרים השלמים היא תת-קבוצה של קבוצת המספרים הרציונליים;

3 - קבוצת המספרים הרציונליים היא תת קבוצה של קבוצת המספרים האמיתיים;

4 - קבוצת המספרים הלא רציונליים היא תת קבוצה של קבוצת המספרים האמיתיים;

5 - למערך המספרים הלא רציונליים ולמערכת המספרים הרציונליים אין אלמנטים משותפים;

6 - קבוצת המספרים האמיתיים היא קבוצת משנה של קבוצת המספרים המורכבים.

בעקיפין, ניתן ליצור קשרים אחרים. אפשר לומר, למשל, שמכלול המספרים הטבעיים הוא תת-קבוצה של קבוצת המספרים המורכבים.

אפשר גם לקרוא את ההפך מהקשרים שהוזכרו בעבר והקשרים העקיפים שניתן לבנות. לשם כך, יש לומר, למשל, כי קבוצת המספרים השלמים מכילה את קבוצת המספרים הטבעיים.

באמצעות סימבולוגיה של תורת הקבוצות, ניתן לכתוב קשרים אלה באופן הבא:

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm