פריזמה: יסודות, סיווג, נוסחאות, דוגמאות

או פּרִיזמָה זה מוצק גיאומטרי למד בגיאומטריה מרחבית. הוא בעל שני בסיסים מקבילים ויוצרים מצולעים, ופניו לרוחב הם תמיד מקבילים. המנסרה נקראת על פי צורת בסיסה. אם הבסיס הוא מחומש, למשל, זה יהיה פריזמה עם בסיס מחומש.

ישנם שני סיווגים אפשריים לפריזמה, שהיא ה- מנסרה ישרה, כאשר יש לו קצוות רוחביים בניצב לבסיס, ואת מנסרה אלכסונית, כאשר קצה הצד אינו מאונך לבסיס. כדי לחשב את השטח והנפח הכולל של פריזמה, אנו משתמשים בנוסחאות ספציפיות.

קרא גם: מהם ההבדלים בין דמויות שטוחות לדמויות מרחביות?

אלמנטים מנסרה

מנסרות יכולות להיות בעלות צורות שונות.

בְּ גיאומטריה מרחבית, מוצקים גיאומטריים מסווגים כ- פוליאתרה כאשר כל פניהם נוצרים על ידי מצולעים. או מנסרה, שהיא מקרה מסוים של פולידרון, יש שני בסיסים מקבילים, בצורת כל מצולע, ופני צד שנוצרו על ידי מקביליות. המרכיבים העיקריים של מנסרה הם, כמו הפולייתריות האחרות:

• הפרצופים,
• הקודקודים ו
• הקצוות.

בפריזמה, פרצופים הם המצולעים היוצרים את המוצק הגיאומטרי. קצוות הם קטעי קו שנוצרו על ידי מפגש של שני פנים, וקודקודים הם נקודות.

בסיסי מנסרה

בפריזמה יש חשיבות רבה לזיהוי הבסיס שלה, שכן כך אנו יכולים להבדיל בין מנסרה אחת לשנייה. אם בסיס המנסרה הוא משולש, למשל, הוא מכונה פריזמה עם בסיס משולש; אם זה מחומש, מנסרה מחומשת בסיסית, וכן הלאה. É

דרך ה מְצוּלָע המהווה את הבסיס לפריזמה, אם כן, שנוכל להבדיל אותה.

על פי הבסיס, ניתן למנות את המנסרה כ:

• מנסרה משולשת: יש לכל אחד מהבסיסים במתכונת של משולש;
• מנסרה מרובעת: יש לכל אחד מהבסיסים במתכונת של מְרוּבָּע;
• מנסרה מחומשת: יש לו כל אחד מהבסיסים בצורת מחומש;
• מנסרה משושה: יש לכל אחד מהבסיסים צורה של משושה;
• מנסרה מתומנת: יש לכל אחד מהבסיסים צורה של מתומן.

קרא גם: מהם המוצקים של אפלטון?

סיווג פריזמה

ישנם שני סיווגים אפשריים לפריזמה: זה יכול להיות יָשָׁר, כשפני הצד יוצרים זווית ישרה עם הבסיסים, ויכולים להיות אֲלַכסוֹנִי, אם הבסיס לא עושה זווית ישרה לבסיס.

אזור פריזמה כולל

השטח הכולל של פולידרון הוא לא יותר מאשר השטח סכום השטח של כל פני המנסרה. במנסרה, כדי למצוא את השטח הכולל, חשוב לשקול את צורת הבסיס שלך.

להיות ה_ב שטח בסיס פריזמה. אנו יודעים שיש לו שני בסיסים ואזורי צד, שהם תמיד מקביליות. אז תהיה ס_שם  = א_l1 + א_l2... ה_ln סכום האזורים הצדדיים. השטח הכולל של פריזמה כלשהי מחושב על ידי:

ה_ט = 2 א_ב + S_שם

נפח פריזמה

כדי למצוא את נפח פריזמה, יש נוסחה ש זה תלוי גם בתבנית הבסיס של הפריזמה. ניתן לחשב את נפח פריזמה כלשהי על ידי:

V = A_ב · ח

דוגמא:

לפריזמה שלמטה בסיס מרובע. בידיעה שהבסיס שלו הוא ריבוע עם צלעות שגודלן 3 ס"מ וכי הגובה הוא 8 ס"מ, אז מהו השטח והנפח הכולל של פריזמה זו?

אנו יודעים כי השטח של כיכר שווה לצד הריבוע, אז:

ה_ב = l²

ה_ב = 3²

ה_ב = 9 ס"מ ²

אזורי הצד כולם חופפים ויש להם צורה של a מַלבֵּן של צדדים עם 3 ס"מ ו- 8 ס"מ. בנוסף, ניתן לראות כי ישנם 4 מלבנים המהווים את האזור הרוחבי של פריזמה זו, כך:

ה_שם = b · h

ה_שם = 3 · 8

ה_שם = 24 ס"מ ²

מכיוון שיש 4 מלבנים חופפים באזור הצדדי, כך:

ס_שם = 4 · 24 = 96 ס"מ ²

השטח הכולל של פריזמה זו מחושב על ידי:

AT = 2Ab + Sl

AT = 2 · 9 + 96

AT = 18 + 96

AT = 114 ס"מ

עכשיו בואו נחשב את הנפח:

V = A_ב · ח

V = 9 · 8

V = 72 ס"מ³

ראה גם: מהן צורות גיאומטריות?

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - (FEI) מקורת עץ עם חתך מרובע של הצד l = 10 ס"מ, מופק טריז בגובה h = 15 ס"מ, כפי שמוצג באיור. נפח הטריז הוא:

א) 250 ס"מ ³

ב) 500 ס"מ³

ג) 750 ס"מ

ד) 1000 ס"מ

ה) 1250 ס"מ

פתרון הבעיה

חלופה ג '.

מכיוון שהבסיס הוא משולש, אנו יודעים כי:

ה_ב = (b · h): 2

ה_ב = (10·15 ): 2

ה_ב = 150: 2

ה_ב = 75 ס"מ ²

עכשיו בואו נחשב את הנפח:

V = A_ב · ח

V = 75 · 10

V = 750 ס"מ

שאלה 2 - לגבי פריזמות, שפט את ההצהרות הבאות.

I - הגליל הוא מנסרה שיש לה בסיסים עגולים.

II - כל פולידרון הוא מנסרה, שכן לשניהם יש פנים שנוצרו על ידי מצולעים.

III - מנסרה עם בסיס משולש כוללת 6 קודקודים, 5 פנים ו 9 קצוות.

הם נכונים:

א) רק הצהרה I.

ב) רק הצהרה II.

ג) רק הצהרה III.

ד) רק משפט I ו- III.

ה) כל ההצהרות נכונות.

פתרון הבעיה

חלופה ג '.

אני → שקר, כי ה צִילִינדֶר יש לו בסיס מעגלי, והמעגל אינו מצולע, ולכן הגליל אינו פריזמה.

II → שקר, שכן כל מנסרה היא רב-כיוון, אך ישנן רב-שכבות שאינן מנסרות.

III → נכון.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה