משוואות טריגונומטריות הן שוויוניות הכוללות פונקציות טריגונומטריות של קשתות לא ידועות. פתרון משוואות אלה הוא תהליך ייחודי המשתמש בטכניקות של צמצום למשוואות פשוטות יותר. בואו נכסה את המושגים וההגדרות של משוואות בצורה cosx = א.
למשוואות טריגונומטריות בצורה cosx = α יש פתרונות במרווח –1 ≤ x ≤ 1. קביעת הערכים של x העונים על משוואה מסוג זה תציית למאפיין הבא: אם לשתי קשתות יש קוסינוסים שווים, אז הם חופפים או משלימים..
תן ל- x = α להיות פתרון של המשוואה cos x = α. שאר הפתרונות האפשריים הם הקשתות המתאימות לקשת α או לקשת - α (או לקשת 2π - α). אז: cos x = cos α. שימו לב לייצוג במחזור הטריגונומטרי:
הסקנו כי:
x = α + 2kπ, עם k Є Z או x = - α + 2kπ, עם k Є Z
דוגמה 1
פתור את המשוואה: cos x = √2 / 2.
מטבלת היחסים הטריגונומטריים, que2 / 2 מתאים לזווית של 45º. לאחר מכן:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
לפיכך, המשוואה cosx = √2 / 2 כוללת כפתרון את כל הקשתות המתאימות לקשת π / 4 או –π / 4 או אפילו 2π - π / 4 = 7π / 4. שימו לב לאיור:
אנו מסיקים כי הפתרונות האפשריים של המשוואה cos x = √2 / 2 הם:
x = π / 4 + 2kπ, עם k Є Z או x = - π / 4 + 2kπ, עם k Є Z
דוגמה 2
פתור את המשוואה: cos 3x = cos x
כאשר קשתות 3x ו- x חופפות:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
כאשר הקשתות 3x ו- x משלימות:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
הפתרון של המשוואה cos 3x = cos x הוא {x Є R / x = kπ או x = kπ / 2, עם k Є Z}.
מאת מארק נח
בוגר מתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm