משולש מלבן: מה זה, שטח, היקף

או משולש ישר זווית מקבל את השם הזה בגלל לאחת הזוויות שלה יש מידה של 90ºכלומר זו זווית ישרה. להיות אחד המצולעים הנלמדים ביותר ב גיאומטריה מישורית, ניתן היה לראות כמה קשרים בין הזוויות וגם בין הצדדים של דמות זו.

או משפט פיתגורס, לדוגמא, הוא פותח לאחר ההבנה שיש קשר בין המידות של צידי המשולש. לפיכך, בידיעת המידות של שני צלעות המשולש, ניתן לחשב את ערך הצד השלישי. משפט פיתגורס אומר כי סכום ריבוע הרגליים תמיד שווה לריבוע ההיפוטנוזה.

בנוסף למשפט פיתגורס, תחום חשוב נוסף שהתפתח באמצעות מחקרי משולש זה היה טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה, שבהם מפותחים היחסים בין צדי המשולש, המכונים סינוס, קוסינוס ומשיק. מסיבות אלה הבחינו כי קיים פרופורציה בין מדידות צדי משולשים ימניים בעלי זוויות שוות.

קרא גם: מהן הנקודות המדהימות של משולש?

תכונות של המשולש הנכון

אובייקט בצורת משולש ימני

המשולש הימני הוא a מצולע שיש לו שלושה צדדיםושלוש זוויות, ואחת מהזוויות הללו היא ישרה, כלומר יש לה 90º. שתי הזוויות האחרות חריפות, כלומר פחות מ 90 מעלות. הצד הארוך ביותר, שנמצא תמיד מול זווית 90 °, ידוע בשם אֲלַכסוֹן, ושני האחרים נקראים פקרי.

המשולש הימני שומר על כל המאפיינים הידועים של המשולש המשותף, כמו העובדה ש

ה סכום הזוויות הפנימיות להיות שווה ל- 180º. מכיוון שהסכום הוא תמיד 180 מעלות ואחת מהזוויות שלו כבר יש 90 מעלות, אנו יכולים לומר ששתי הזוויות האחרות תמיד משלימות, כלומר גם הסכום שלהן שווה ל 90 מעלות.

a ו- b → שדיים

ג → היפוטנוזה

היקף המשולש הימני

ההיקף של כל מצולע הוא אורך סכום כל צדדיו. לכן, כדי לחשב את היקף המשולש הימני, פשוט הוסף את צלעותיו.

P = a + b + c

אזור משולש ימני

ה אזור המשולש מלבן, כמו גם א משולש כל אחד, הוא חצי מהמוצר בין הבסיס לגובה. מה שמיוחד במשולש הימני הוא שאחת מרגליו חופפת לגובה שלה, מכיוון שהן מאונכות זו לזו, אז כדי לחשב את השטח, אנו מכפילים את הרגליים ומחלקים את התוצאה לשניים.

דוגמא:

חשב את ההיקף והשטח של המשולש הימני למטה בידיעה שצידיו ניתנים בסנטימטרים.

P = 8 + 15 + 17

P = 40 ס"מ

עכשיו בואו נחשב את השטח:

ראה גם: חישוב שטח המשולש באמצעות זוויות

משפט פיתגורס

המשפט הידוע ביותר במתמטיקה הוא, ללא ספק, משפט פיתגורס. ממשפט זה ניתן היה לראות שצידי משולש ימין קשורים באופן הבא: נתון לכל משולש נכון, סכום ריבוע הרגליים שווה לריבוע ההיפוטנוזה.

a² + b² = c²

a ו- b → שדיים

ג → היפוטנוזה

ממשפט זה ניתן למצוא את הערך של שני צידי משולש ימני, כל עוד ידוע על שני האחרים.

דוגמא:

מה הערך של ההיפוטנוזה של המשולש הימני למטה בידיעה שמדידותיו ניתנות בסנטימטרים?

אם אנו מיישמים את משפט פיתגורס, עלינו:

6² + 8² = x²

36 + 64 = x²

100 = x²

x² = 100

x = √100

x = 10 ס"מ

כדי ללמוד עוד על קשר חשוב זה, קרא את הטקסט: טהמזל של פיתגורס.

טריגונומטריה במשולש הימני

השם טריגונומטריה כבר מתייחס למושא המחקר שלו:

• טרי → שלוש;
• גונו → זווית;
•  מדדים → מדד או מדד.

לפיכך, טריגונומטריה היא תחום המתמטיקה ש חוקר את הקשר בין מדידות זוויות המשולש וכאן אנו עומדים להיצמד למשולש הנכון. טריגונומטריה בוחנת את היחס בין צדי המשולש בהתאם לו זָוִית. בכך ניתן היה לפתח מושגים חשובים, שהם הסיבות סינוס, קוסינוס ומשיק. ראוי להזכיר שסיבות טריגונומטריות אחרות פותחו עם העמקת חקר הטריגונומטריה במעגל הטריגונומטרי.

לפני שמבינים מה כל אחד מהיחסים הללו, חשוב להבין מהו צד נגדי ומהו צד סמוך בזווית של משולש.

כפי שראינו, אֲלַכסוֹן הוא הצד המיוצג על ידי קטע AB, שכן הוא תמיד הצד הארוך ביותר של המשולש וגם ה- צד פונה לזווית 90º. הצדדים האחרים מכונים רגליים. בהתאם לזווית שאנו לוקחים כנקודת התייחסות, הצד יכול להיות מנוגד או סמוך.

הפקרי ידוע כהיפך כאשר הוא פונה לזווית. הזווית הנגדית בצד ꞵ, למשל, היא הצד AC; מצד שני, הצד שמנגד זווית lado הוא הצד לפני הספירה.

או פקרי ידוע כסמוך כשהוא יוצר את הזווית ליד ההיפוטנוזה. שימו לב שזווית ꞵ היא בין הצד BC ו- AB. מכיוון ש- AB הוא ההיפוטנוזה של המשולש הימני, אז AB הוא רגל הסמוכה לזווית ꞵ. בעזרת אותה הנמקה ניתן לראות שה- lado AC הוא הצד הסמוך של הזווית ɑ.

על ידי הבנת כל צד של המשולש, אפשר להבין את יחסים טריגונומטריים.

כדי להחיל יחסים טריגונומטריים, עלינו להכיר את הזוויות המדהימות, כלומר את הזוויות של 30º, 45º ו- 60º. מרבית בעיות הבחינות והבחינות קשורות לזוויות אלה, ולכן יש לדעת את ערכי הסיבות לכל אחת מהן.

ראה את הטבלה עם ערכי הסינוס, הקוסינוס והמשיק עבור הזוויות הבולטות:

בידיעת ערך יחסי הטריגונומטריה של המשולש באמצעות צד וזווית, ניתן למצוא את כל צדי המשולש הימני מהטריגונומטריה.

דוגמא:

מצא את הערך של x.

כדי למצוא את הערך של x, בואו נסתכל על הזווית שניתנה. שימו לב שהוא צמוד לצד ממנו אנו מכירים את המידה, כלומר AC צמוד לזווית של 30 °. לאחר מכן, נשתמש ביחס המשיק, המתייחס לצד הסמוך ול hypotenuse. כמו כן, על ידי התבוננות בטבלה אנו יודעים כי קוסינוס של 30 שווה ל- √3 / 2.

גישה גם: 4 הטעויות הנפוצות ביותר בטריגונומטריה בסיסית

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - (IFG) תאודוליט הוא מכשיר מדויק למדידת זוויות אופקיות וזוויות אנכיות, המשמש בעבודות בנייה. נשכרה חברה לצביעת בניין בן ארבע קומות. כדי לגלות את השטח הכולל לצבוע, עליה למצוא את גובה הבניין. אדם אחד מציב את המכשיר בגובה 1.65 מטר ומצא זווית של 30 °, כפי שמוצג באיור. בהנחה שהתיאודוליט נמצא במרחק 13√3 מטרים מהבניין, מה גובהו, במטר, של הבניין שצויר?

א) 11.65

ב) 12.65

ג) 13.65

ד) 14.65

ה) 15.65

פתרון הבעיה

חלופה ד '

מכיוון שאנו רוצים למצוא את הצד שממול לזווית של 30 °, בידיעה שמרחק 13√3, שהוא המרחק מהתיאודוליט לבניין, הוא הצד הסמוך לזווית של 30 °, לכן נשתמש במשיק:

כעת נוסיף 13 + 1.65 = 14.65 מטר גובה.

שאלה 2 - לצורך ביצוע שתילה ברכושו, חקלאי חילק את אדמתו המעובדת בצורתו המלבנית לחצי, על האלכסון שלה, ויצר שני משולשים ימניים. בחלוקה זו, מחצית מהקרקע תגודר בחוט, באמצעות 4 חוטים. בידיעה שממדי הארץ רוחבים 20 מטר ואורך 21 מטר, כמה יושקע על חוט?

א) 29 מטר

ב) 70 מטר

ג) 140 מטר

ד) 210 מטר

ה) 280 מטר

פתרון הבעיה

חלופה E.

ראשית בואו נמצא את אלכסון השטח, המהווה את המשכן המשולש הנכון. כדי להקל על זה, נגיע לתמונת המצב:

אז עלינו:

d² = 20² + 21²

d² = 400 + 441

d² = 841

d = √841

d = 29

כדי להסתובב, עלינו 29 + 20 + 21 = 70 מטר, וכך גם 4 הקפות, 70 · 4 = 280 מטר.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm