מספרים ראשוניים: מה הם, מה הם, תרגילים

הסט של מספרים ראשוניים הוא מושא הלימוד ב מתמטיקה מיוון העתיקה. אוקלידס, בעבודתו הגדולה "האלמנטים", כבר דן בנושא והצליח להוכיח זאת מַעֲרֶכֶת זה אינסופי. כידוע, המספרים הראשוניים הם אלה שיש להם את המספר 1 כמחלק ואת עצמם, ולכן, מציאת ראשוניים גדולים מאוד אינה משימה קלה, והמסננת של ארטוסטנס עושה את זה קל. פְּגִישָׁה.

מספרים ראשוניים בין 1 ל 100.

איך יודעים מתי מספר הוא ראשוני?

אנו יודעים שמספר ראשוני הוא aמי שיש לו כמו מחיצה את המספר 1 ואת עצמו, כך שמספר שברשימת המחלקים שלו יש מספרים שאינם 1 ובעצמו לא יהיה ראשוני, ראה:

על ידי רישום המחלקים 11 ו- 30, יש לנו:

D (11) = {1, 11}

D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}

שים לב שבמספר 11 יש רק את המספר 1 ואת עצמו כמחלקים, ולכן ה- מספר 11 הוא מספר ראשוני. עכשיו, הסתכלו על המחלקים של המספר 30, יש לו, בנוסף למספר 1 ולעצמו, גם את המספרים 2, 3, 5, 6 ו -10 עם מחלקים. לָכֵן, המספר 30 אינו ראשוני.

→ דוגמא: ציין את מספר הראשוני של פחות מ- 15

לשם כך נפרט את המחלקים של כל המספרים שבין 2 ל -15.

D (2) = {1, 2}

D (3) = {1,3}

D (4) = {1, 2, 4}

D (5) = {1, 5}

D (6) = {1, 2, 3, 6}

D (7) = {1, 7}

D (8) = {1, 2, 4, 8}

D (9) = {1, 3, 9}

D (10) = {1, 2, 5, 10}

D (11) = {1, 11}

D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D (13) = {1, 13}

D (14) = {1, 2, 7, 14}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

לפיכך, ראשוניים קטנים מ -15 הם:

2, 3, 5, 7, 11 ו -13

בואו נודה בזה, משימה זו לא הייתה נעימה במיוחד, למשל, אם נרשום את כל הראשונים שבין 2 למאה. כדי להימנע מכך, נלמד להשתמש, בנושא הבא, במסננת ארטוסטנס.

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

מסננת ארטוסטנס

המסננת של ארטוסטנס היא א כלי שמטרתו להקל על קביעת המספרים הראשוניים. המסננת מורכבת מארבעה שלבים, וכדי להבין אותם, יש לזכור את קריטריונים לחלוקה. לפני שמתחילים שלב אחר שלב עלינו ליצור טבלה מהמספר 2 למספר הרצוי, מכיוון שהמספר 1 אינו ראשוני. לאחר מכן:

→ שלב 1: מקריטריון החלוקה לפי 2, יש לנו שהמספרים הזוגיים כולם ניתנים לחלוקה על ידי זה, כלומר ה- מספר 2 יופיע ברשימת המחלקים, כך שמספרים אלה לא יהיו ראשוניים ועלינו להוציא אותם מה- שולחן. האם הם:

4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …

→ שלב 2: מקריטריון החלוקה ב -3 אנו יודעים שהמספר מתחלק ב -3 אם ה- סְכוּם של ספרותיו הוא גם. לפיכך, עלינו להוציא את המספרים הללו מהטבלה, מכיוון שהם אינם ראשוניים מכיוון שיש מספר שאינו 1 והוא עצמו ברשימת המחלקים. אז עלינו לא לכלול את המספרים:

6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …

→ שלב 3: מקריטריון החלוקה ב- 5 אנו יודעים שכל המספרים המסתיימים ב- 0 או 5 מתחלקים ב- 5, ולכן עלינו להוציא אותם מהטבלה.

10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…

→ שלב 4: באופן דומה, עלינו להוציא מהטבלה מספרים המכופלים 7.

14, 21, 28, …, 546, …

- מכירים את המסננת של ארטוסטנס, בואו נקבע את הראשוניים שבין 2 למאה.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

→ אינם בני דודים
→ מספרים ראשוניים

אז המספרים הראשוניים בין 2 ל 100 הם:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

קרא גם: חישוב MMC ו- MDC: כיצד לעשות זאת?

פירוק גורם ראשוני

ה פירוק גורם מרכזי ידוע רשמית בשם משפט בסיסי של חשבון. משפט זה קובע כי כל מספר שלם שונה מ- 0 ומעלה מ- 1 יכול להיות מיוצג על ידי תוצר של מספרים ראשוניים. כדי לקבוע את הצורה המצורפת של מספר שלם, עלינו לבצע חלוקות עוקבות עד שנגיע לתוצאה השווה ל -1. ראה את הדוגמה:

→ קבע את הצורה המצורפת של המספרים 8, 20 ו- 350.

כדי לפקוד את המספר 8, עלינו לחלק אותו למספר הראשוני האפשרי הראשון, במקרה זה ל -2. לאחר מכן, אנו מבצעים חלוקה נוספת גם לפי הפריים האפשרי, תהליך זה חוזר על עצמו עד שנגיע למספר 1 כתשובה לחלוקה. תראה:

8: 2 = 4

4: 2 = 2

2: 2 = 1

לכן, הצורה המצורפת של המספר 8 היא 2 · 2 · 2 = 2³. על מנת להקל על תהליך זה, נאמץ את השיטה הבאה:

לכן ניתן לכתוב את המספר 8 כ: 2³.

→ כדי לפקוד את המספר 20 נשתמש באותה שיטה, כלומר: נחלק אותו למספרים ראשוניים.

אז המספר 20, בצורתו המצורפת, הוא: 2 · 2 · 5 או 2² · 5.

→ באופן דומה, נבצע עם המספר 350.

לכן המספר 350, בצורתו המחושבת, הוא: 2 · 5 · 5 · 7 או 2 · 5² · 7.

ראה גם: סימון מדעי: בשביל מה זה מיועד?

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - פשט את הביטוי:

פִּתָרוֹן

ראשית, בואו פקטור את הביטוי כדי להקל עליו.

לפיכך, 1024 = 2¹⁰ולכן אנו יכולים להחליף אחד את השני בביטוי התרגיל. לכן:

מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה