סכום התנאים של התקדמות חשבון

אחד התקדמות חשבון (PA) הוא א סדר פעולות מספרי בו כל מונח הוא סכום הקודם לפי קבוע, הנקרא היחס. הם קיימים ביטויים מתמטיים לקבוע את תקופת הרשות הפלסטינית ולחשב את סכום שלה לא קדנציות ראשונות.

הנוסחה המשמשת לחישוב ה- סכום התנאים של הרשות הפלסטינית הסופית או סכום ה - לא המונחים הראשונים של הרשות הפלסטינית הם כדלקמן:

ס_לא = בְּ-₁ + ה_לא)
2

* n הוא מספר המונחים של BP; ה₁ הוא הקדנציה הראשונה, ו_לא הוא האחרון.

מקור סכום התנאים של הרשות

נאמר כי המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס, בגיל 10 לערך, נענש עם כיתתו בבית הספר. המורה אמר לתלמידים להוסיף את כל המספרים המופיעים ב- סדר פעולות מ -1 עד 100.

גאוס היה לא רק הראשון שסיים בפרק זמן קצר מאוד, הוא גם היחיד שהשיג את התוצאה נכונה (5050). יתר על כן, הוא לא הראה חישובים כלשהם. מה שהוא עשה היה לתקן את הנכס הבא:

סכום שני המונחים המרוחקים מקצוות הרשות הפלסטינית הסופית שווה לסכום הקיצוניות.

לא היה שום ידע לגבי מחבת באותה תקופה, אבל גאוס צפה ברשימת המספרים והבין שהוספת הראשון לאחרון תביא ל -101; הוספת השנייה לפני הלפני אחרונה, התוצאה תהיה גם 101 וכן הלאה. כסכום של כל זוגות המונחים

מרחק שווה מהקצוות הגיע ל -101, גאוס נאלץ להכפיל את המספר הזה במחצית מהתנאים הזמינים כדי למצוא את התוצאה 5050.

שימו לב שמספר 1 למספר 100 יש בדיוק 100 מספרים. גאוס הבין שאם יוסיף אותם שניים ושניים הוא יקבל 50 תוצאות השוות ל -101. לכן הכפל הזה נעשה במחצית מכלל התנאים.

הדגמת סכום התנאים של הרשות הפלסטינית

הישג זה הוליד את הביטוי המשמש לחישוב ה- סכום של לא הקדנציות הראשונות של הרשות הפלסטינית. הטקטיקה המשמשת לביטוי זה היא כדלקמן:

נתון אחד מחבת כל אחד, נוסיף את התנאים הראשונים של זה. מתמטית, יהיו לנו:

ס_לא = ה₁ + ה₂ + ה₃ +... + ה_{n - 2} + ה_{n - 1} + ה_לא

ממש מתחת לזה סכום התנאים, נכתוב עוד אחד, עם אותם מונחים כמו הקודם, אך במובן היורד. שימו לב שסכום המונחים בראשון שווה לסכום המונחים בשני. לכן, שניהם הושוו ל- S_לא.

ס_לא = ה₁ + ה₂ + ה₃ +... + ה_{n - 2} + ה_{n - 1} + ה_לא

ס_לא = ה_לא + ה_{n - 1} + ה_{n - 2} +... + ה₃ + ה₂ + ה₁

שים לב ששני הביטויים הללו התקבלו מסינגל מחבת וכי המונחים השוויוניים מיושרים אנכית. לכן, אנו יכולים להוסיף את הביטויים לקבלת:

ס_לא = ה₁ + ה₂ + ה₃ +... + ה_{n - 2} + ה_{n - 1} + ה_לא

+ ס_לא = ה_לא + ה_{n - 1} + ה_{n - 2} +... + ה₃ + ה₂ + ה₁

2S_לא = (₁ + ה_לא) + (א₂ + ה_{n - 1}) +... + (א_{n - 1} + ה₂) + (א_לא + ה₁)

זכרו שסכום המונחים המרוחק מהקיצוניות שווה לסכום הקיצוניות. לכן, ניתן להחליף כל סוגריים בסכום הקיצוניות, כפי שנעשה בהמשך:

2S_לא = (₁ + ה_לא) + (א₁ + ה_לא) +... + (ה₁ + ה_לא) + (א₁ + ה_לא)

הרעיון של גאוס היה להוסיף את המונחים השווים של רצף. אז הוא קיבל מחצית מכמות התנאים מ מחבת בתוצאות 101. עשינו את זה כך שכל מונח של ה- BP הראשוני התווסף לערכו השווה, תוך שמירה על הערך מספר מונחים. לפיכך, מכיוון של- PA היו n מונחים, אנו יכולים לשנות את הסכום, בביטוי לעיל, בכפל ולפתור את משוואה למצוא:

2S_לא = (₁ + ה_לא) + (א₁ + ה_לא) +... + (ה₁ + ה_לא) + (א₁ + ה_לא)

2S_לא = n (א₁ + ה_לא)

ס_לא = בְּ-₁ + ה_לא)
2

זו בדיוק הנוסחה המשמשת להוספת ה- לא הקדנציות הראשונות של הרשות הפלסטינית.

דוגמא

בהינתן P.A (1, 2, 3, 4), קבע את סכום 100 הקדנציות הראשונות שלו.

פִּתָרוֹן:

נצטרך למצוא את המונח א₁₀₀. לשם כך נשתמש ב- נוסחת מונח כללי של רשות הפלסטינית:

ה_לא = ה₁ + (n - 1) r

ה₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

ה₁₀₀ = 1 + 99

ה₁₀₀ = 100

עכשיו הנוסחה לסיכום המונחים הראשונים:

ס_לא = בְּ-₁ + ה_לא)
2

ס₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

ס₁₀₀ = 100(101)
2

ס₁₀₀ = 10100
2

ס₁₀₀ = 5050

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm