O כרך של הכדורמחושב על סמך מדידת הרדיוס שלו. כדור הוא צורה גיאומטרית שיש לה שלושה מימדים. המרכיבים העיקריים של כדור הם הרדיוס והקוטר שלו. נפח הכדור מחושב באמצעות נוסחה ספציפית שתוצג להלן. בנוסף לנפח, אנו יכולים לחשב את שטח הפנים של הכדור.
קרא גם: כיצד לחשב נפח של צילינדר
סיכום נפח הכדור
- לכמה חפצים בחיי היומיום שלנו יש צורה כדורית, כמו כדור כדורגל.
- המרכיבים העיקריים של הכדור הם הרדיוס והקוטר שלו.
- כדי לחשב את נפח הכדור, אנו משתמשים בנוסחה:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
- ישנן נוסחאות חשובות נוספות, כמו הנוסחה לשטח של כדור: \(A=4\pi r^2\).
שיעור וידאו על עוצמת הקול של הכדור
מה זה כדור?
כדור הוא צורה תלת מימדית אחת, המוגדרת כ דמות תלת מימדית שנקודותיה מרוחקות באותה מידה ממרכזה. זוהי אחת הצורות הסימטריות ביותר והיא קיימת בעולם שלנו במובנים רבים. אנו יכולים לתפוס את נוכחותו של הכדור בטבע, בגוף האדם, בחקר כוכבי הלכת, בין שאר המצבים בחיי היומיום שלנו.
ספרה הוא מוצק גיאומטרי. ביליארד, כדורגל וכדורסל הם דוגמאות לכדורים. הוא מורכב מכל הנקודות שנמצאות במרחק קבוע מנקודה מרכזית הנקראת מרכז הכדור. והמרחק הקבוע הזה ידוע כרדיוס הכדור.
אלמנטים של כדור
לכדור יש כמה חלקים מעניינים:
- מֶרְכָּז: כפי שהשם מרמז, זוהי הנקודה שנמצאת במרכז הכדור.
- קוֹטֶר: קטע קו ישר המחבר בין שתי נקודות הפוכות על הכדור, העובר במרכז.
- קֶרֶן: קטע שעובר מהמרכז לכל נקודה על פני השטח.
- משטח: השכבה החיצונית של הכדור.
- בְּתוֹך: חלל בתוך הכדור.
איך מחשבים את נפח הכדור?
נפח הכדור מחושב לפי הנוסחה:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
- V: הוא נפח הכדור.
- א: הוא רדיוס הכדור.
- π: הוא קבוע.
Oערך קבוע πהנפוץ ביותר הוא בערך 3.14, אבל אנחנו יכולים לשקול π שווה ל-3, או ל-3.1 לערך, או אפילו ל-3.1415 לערך, תלוי בכמה מקומות עשרוניים נרצה לקחת בחשבון, שכן π הוא מספר אי-רציונלי, ולמספרים אי-רציונליים יש אינסוף מקומות עשרוניים.
- דוגמא:
לכדור יש רדיוס של 6 ס"מ. מה הנפח של הכדור הזה, בהתחשב בכך π=3?
פתרון הבעיה:
בחישוב נפח הכדור, יש לנו:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)
\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)
\(V=\frac{2592}{3}\)
\(V=864\ cm^3\)
אז, נפח הכדור הזה הוא 864 ס"מ³.
נוסחת כדור נוספת
בנוסף לנוסחה המוצגת לחישוב נפח הכדור, קיימת נוסחה חשובה נוספת, והיא ה נוסחת שטח פנים. כדי לחשב את שטח הפנים של הכדור, הנוסחה היא:
\(A=4\pi r^2\)
א פני השטח של הכדור אינם אלא האזור המקיף את הכדור. לדוגמה, בכדור פלסטיק, הכדור הוא הכדור כולו, והמשטח הוא האזור של הפלסטיק שהוא קו המתאר של אותו כדור.
- דוגמא:
מהי מדידת פני השטח של כדור בעל רדיוס של 5 ס"מ?
פתרון הבעיה:
כערך של π, לא נחליף אותו בשום ערך, אז:
\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)
\(A=4\cdot\pi\cdot25\)
\(A=100\pi\ cm²\)
השטח של הכדור הזה הוא ב 100πcM2.
יודע יותר: מה ההבדל בין היקף, עיגול וכדור?
פתרו תרגילים על נפח הכדור
שאלה 1
לעצם כדורי רדיוס של 6 ס"מ. ואז נפח האובייקט הזה (באמצעות π=3,14) שווה בערך ל:
א) 314.42 ס"מ³
ב) 288.00 ס"מ³
ג) 424.74 ס"מ³
ד) 602.38 ס"מ³
E) 904.32 ס"מ³
פתרון הבעיה:
חלופה E
החלפת הערכים המופיעים בהצהרה בנוסחה \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), יש לנו:
\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)
\(V=\frac{4}{3}\pi216\)
\(V=288\pi\approx288\cdot3,14=904.32{\cm}^3\)
שאלה 2
למיכל יש צורה כדורית. ידוע שיש לו נפח ב 288π cm³. אם נכיר את נפחו, נוכל לקבוע כי מדידת הרדיוס של מיכל זה היא:
א) 3 ס"מ
ב) 4 ס"מ
ג) 5 ס"מ
ד) 6 ס"מ
ה) 7 ס"מ
פתרון הבעיה:
חלופה D
אנחנו יודעים את זה \(V=288\pi\).
החלפת הערכים המופיעים בהצהרה בנוסחה \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), יש לנו \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).
ביטול ה-π משני הצדדים והכפלה צולבת:
\({4R}^3=864\)
\(R^3=216\)
\(R=\sqrt[3]{216}\)
\(R=\sqrt[3]{6^3}\)
\(R=6\ ס"מ\)
מקורות
דולצ'ה, אוסבלדו; פומפאו, חוסה ניקולאו. יסודות המתמטיקה היסודית: גיאומטריה מרחבית, כרך. 10, 6. ed. סאו פאולו: נוכחי, 2005.
לימה, E. et. אל. מתמטיקה בתיכון. כרך 2. ריו דה ז'נרו: SBM, 1998.