אנחנו יודעים איך פולינום ביטוי המציין את הסכום האלגברי של מונומיות שאינן דומות, כלומר פולינום הוא אחד ביטוי אלגברי בין מונומיות. מונומיום הוא מונח אלגברי שיש לו מקדם וחלק מילולי.
כאשר ישנם מונחים דומים בין הפולינומים, ניתן לבצע את ה צמצום תנאיו בנוסף ו / או חיסור של שני פולינומים. אפשר גם להכפיל שני פולינומים באמצעות המאפיין החלוקתי. החלוקה מתבצעת בשיטת המקשים.
קרא גם: משוואת פולינום - משוואה המאופיינת בכך שיש לה פולינום השווה ל -0
מהם מונומיות?
כדי להבין מהו פולינום, חשוב להבין תחילה את המשמעות של מונומיה. ביטוי אלגברי ידוע כמונומיום כאשר יש לו מספרים ואותיות ומעריכיהם מופרדים רק בכפל. המספר ידוע כמקדם, והאותיות ומעריכיהם ידועות כחלק המילולי.
דוגמאות:
2x² → 2 הוא המקדם; x² הוא החלק המילולי.
√5ax → √5 הוא המקדם; הגרזן הוא החלק המילולי.
b³yz² → 1 הוא המקדם; b³yz² הוא החלק המילולי.
מהו פולינום?
פולינום אינו אלא ה סכום מונומיאליסטי אלגבריכלומר מדובר במונומיות יותר המופרדות על ידי חיבור או חיסור זה מזה.
דוגמאות:
ax² + על ידי + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
באופן כללי, לפולינום יכול להיות כמה מונחים, והוא מיוצג באופן אלגברי על ידי:
הלאאיקסלא + את(n-1) איקס(n-1) +... + ה2x² + א1x + a
ראה גם: מהן שיעורי הפולינומים?
דרגה של פולינום
כדי למצוא את מידת הפולינום, בואו נפריד אותו לשני מקרים, כאשר יש לו משתנה יחיד וכשיש לו יותר משתנים. מידת הפולינום ניתנת על ידי המידה הגדולה ביותר של מונומיות שלה בשני המקרים.
מקובל למדי לעבוד עם פולינום שיש בו משתנה אחד בלבד. כשזה קורה, או מונומיום גדול יותר תוֹאַר מה שמציין את התואר של הפולינום שווה למעריך הגדול ביותר של המשתנה:
דוגמאות:
פולינומים משתנים בודדים
א) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → שימו לב שהמשתנה הוא x, והמערך הגדול ביותר שיש לו הוא 3, אז זהו פולינום דרגה 3.
ב) 2y5 + 4y² - 2y + 8 → המשתנה הוא y, והמערך הגדול ביותר הוא 5, אז זה פולינומי של דרגה 5.
כאשר לפולינום יש יותר ממשתנה אחד במונומיה, כדי למצוא את מידת המונח הזה, יש צורך בכך לְהוֹסִיף-אם מידת המעריכים של כל אחד מהמשתנים. לפיכך, מידת הפולינום, במקרה זה, עדיין שווה לדרגת המונומיה הגדולה ביותר, אך יש צורך לדאוג להוסיף את מעריכי המשתנים של כל מונומיה.
דוגמאות:
א) 2xy + 4x²y³ - 5y4
מנתח את החלק המילולי של כל מונח עלינו:
xy → כיתה 2 (1 + 1)
x²y³ → דרגה 5 (2 + 3)
y³ → כיתה ג '
שים לב שהמונח הגדול ביותר הוא בעל תואר 5, ולכן זהו פולינום דרגה 5.
ב) 8a²b - ab + 2a²b²
ניתוח החלק המילולי של כל מונומיום:
a²b → כיתה ג '(2 + 1)
ab² → דרגה 2 (1 + 1)
a²b² → דרגה 4 (2 + 2)
לפיכך, לפולינום יש תואר 4.
הוספת פולינומים
אל ה תוספת בין שני פולינומים, בוא נבצע את צמצום מונומיות דומות. שני מונומיות דומות אם יש להם חלקים מילוליים שווים. כשזה קורה, אפשר לפשט את הפולינום.
דוגמא:
תנו ל- P (x) = 2x² + 4x + 3 ו- Q (x) = 4x² - 2x + 4. מצא את הערך של P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
מציאת מונחים דומים (שיש להם אותם חלקים מילוליים):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
עכשיו בואו נוסיף את המונומיות הדומות:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
חיסור פולינומי
חיסור לא שונה בהרבה מחיבור. הפרט החשוב הוא זה ראשית עלינו לכתוב את הפולינום ההפוך לפני שנבצע את הפשטות של מונחים דומים.
דוגמא:
נתונים: P (x) = 2x² + 4x + 3 ו- Q (x) = 4x² - 2x + 4. חשב את P (x) - Q (x).
הפולינום -Q (x) הוא ההפך מ- Q (x), כדי למצוא את ההפך מ- Q (x), פשוט הפוך את הסימן של כל אחד מהמונחים שלו, אז עלינו:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
ואז נחשב:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
לפשט מונחים דומים יש לנו:
(2-4) x² + (4 + 2) x + (3-4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
כפל פולינום
כדי לבצע הכפל של שני פולינומים אנו משתמשים במוכר רכוש חלוקתי בין שני הפולינומים, המפעילים את הכפל של המונומים של הפולינום הראשון לזה של השני.
דוגמא:
תנו ל- P (x) = 2a² + b ו- Q (x) = a³ + 3ab + 4b². חשב את P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
כאשר אנו מיישמים את הנכס החלוקתי, יהיו לנו:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
25 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
כעת, אם הם קיימים, אנו יכולים לפשט מונחים דומים:
25 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
שים לב כי המונומיות הדומות היחידות מודגשות בכתום, ומפשטות ביניהן, תהיה לנו הפולינום הבא כתשובה:
25 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
25 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
גישה גם: כיצד לבצע כפל שבר אלגברי?
חלוקה פולינומית
לבצע את חלוקת פולינומים יכול להיות די מאומץ, אנו משתמשים במה שמכונה שיטת מפתחות, אך ישנן מספר שיטות לכך. החלוקה של שני פולינומים זה אפשרי רק אם מידת המחלק קטנה יותר. על ידי חלוקת הפולינום P (x) בפולינום D (x), אנו מחפשים פולינום Q (x), כך:
לפיכך, על ידי אלגוריתם החלוקה, יש לנו: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → דיבידנד
D (x) → מחלק
Q (x) → מנה
R (x) → שארית
בעת הפעלת החלוקה, הפולינום P (x) ניתן לחלוקה לפולינום D (x) אם השאר הוא אפס.
דוגמא:
בואו ונפעל על ידי חלוקת הפולינום P (x) = 15x² + 11x + 2 בפולינום D (x) = 3x + 1.
אנו רוצים לשתף:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
שלב ראשון: אנו מחלקים את המונומיום הראשון של הדיבידנד עם הראשון של המחלק:
15x²: 3x = 5x
שלב שני: נכפיל 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x ונחסיר את התוצאה של P (x). כדי לבצע את החיסור, יש צורך להפוך את סימני תוצאת הכפל ולמצוא את הפולינום:
שלב שלישי: אנו מבצעים את חלוקת המונח הראשון של תוצאת החיסור על ידי המונח הראשון של המחלק:
6x: 3x = 2
שלב רביעי: אז יש לנו (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
לכן עלינו:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
קרא גם: המכשיר המעשי של בריוט-רופיני - חלוקת פולינומים
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - מה הערך של m צריך להיות כך לפולינום P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m יש דרגה 2?
א) 3
ב) -3
ג) ± 3
ד) 9
ה) -9
פתרון הבעיה
חלופה א
כדי של- P (x) תהיה דרגה 2, המקדם של x³ חייב להיות שווה לאפס, והמקדם של x² חייב להיות שונה מאפס.
אז נעשה:
מ"ר - 9 = 0
מ"ר = 9
m = ± 9
m = ± 3
מצד שני, יש לנו את ה- m + 3 ≠ 0.
אז, m ≠ -3.
לפיכך, יש לנו כפתרון של המשוואה הראשונה ש- m = 3 או m = -3, אולם עבור השנייה, יש לנו m ≠ -3, ולכן הפתרון היחיד שגורם ל- P (x) להיות בדרגה 2 הוא: m = 3.
שאלה 2 - (IFMA 2017) את היקף הדמות ניתן לכתוב על ידי הפולינום:
א) 8x + 5
ב) 8x + 3
ג) 12 + 5
ד) 12x + 10
ה) 12x + 8
פתרון הבעיה
חלופה ד
מהתמונה, כאשר אנו מנתחים את האורך והרוחב הנתון, אנו יודעים שההיקף הוא סכום כל הצדדים. מכיוון שהאורך והגובה זהים, פשוט מכפילים את סכום הפולינומים הנתונים ב -2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
