סכום ומוצר זוהי שיטה המשמשת למציאת הפתרונות של א משוואה. אנו משתמשים בסכום ובמכפלה כשיטה לחישוב השורשים של א משוואת מדרגה 2, מהסוג ax² + bx + c = 0.
זוהי שיטה מעניינת כאשר הפתרונות של המשוואה הם מספרים שלמים. במקרים בהם הפתרונות אינם מספרים שלמים, זה יכול להיות די מסובך להשתמש בסכום ובמכפלה, עם שיטות אחרות קלות יותר למצוא את הפתרונות של המשוואה.
קראו גם: Bhaskara - הנוסחה הידועה ביותר לפתרון משוואות ריבועיות
סיכום על סכום ומוצר
- הסכום והמכפלה היא אחת השיטות המשמשות למציאת פתרונות של משוואה ריבועית שלמה.
- לפי הסכום והמכפלה, בהינתן המשוואה של המעלה השנייה ax² + bx + c = 0, יש לנו:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- איקס1 זה איקס2 הם הפתרונות של המשוואה הריבועית.
- a, b ו-c הם המקדמים של משוואת מדרגה 2.
מה זה סכום ומוצר?
הסכום והתוצר הוא אחת השיטות שבהן נוכל להשתמש כדי למצוא את הפתרונות של משוואה. בשימוש במשוואות מדרגה 2, הסכום והמכפלה יכולים להיות שיטה מעשית יותר למצוא את הפתרונות של משוואה, מכיוון שהיא מורכבת מחיפוש המספרים העונים על נוסחת הסכום והמוצר של נתון משוואה.
סכום ונוסחת המוצר
במשוואה ריבועית, מהסוג ax² + bx + c = 0, עם פתרונות שווים ל-x1 ו-x2, לפי סכום ומוצר, יש לנו:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
כיצד לחשב שורשים באמצעות סכום ומכפלה?
כדי למצוא את הפתרונות, נחפש תחילה את המספרים השלמים שהמכפלה שלהם שווה \(\frac{c}{a}\).
אנו יודעים שהפתרונות של המשוואה יכולים להיות חיוביים או שליליים:
- מוצר חיובי וסכום חיובי: שני השורשים חיוביים.
- מוצר חיובי וסכום שלילי: שני השורשים שליליים.
- מוצר שלילי וסכום חיובי: שורש אחד חיובי והשני שלילי, וזה עם המודול הגדול ביותר הוא חיובי.
- מוצר שלילי וסכום שלילי: שורש אחד חיובי והשני שלילי, וזה עם המודול הגדול ביותר הוא שלילי.
מאוחר יותר, לאחר פירוט כל המוצרים העונים על המשוואה, אנו מנתחים איזה מהם עומד במשוואה. משוואת הסכום, כלומר, מהם שני המספרים העונים על משוואת המכפלה והסכום בּוֹ זְמַנִית.
דוגמה 1:
מצא את הפתרונות של המשוואה:
\(x²-5x+6=0\)
בהתחלה, נחליף את הסכום ואת נוסחת המוצר. יש לנו ש-a = 1, b = -5 ו-c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
מכיוון שהסכום והתוצר חיוביים, השורשים חיוביים. בניתוח המוצר, אנו יודעים כי:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
כעת, נבדוק לאילו מהתוצאות הללו יש סכום השווה ל-5, שבמקרה זה הוא:
\(2+3=5\)
אז, הפתרונות של המשוואה הזו הם \(x_1=2\ ו\ x_2=3\).
דוגמה 2:
מצא את הפתרונות של המשוואה:
\(x^2+2x-24=0\ \)
ראשית, נחליף לסכום ולנוסחת המוצר. יש לנו a = 1, b = 2 ו-c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
מכיוון שהסכום והמכפלה הם שליליים, השורשים הם מסימנים מנוגדים, וזה עם המודולוס הגדול ביותר הוא שלילי. בניתוח המוצר, אנו יודעים כי:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\left(-12\right)=-24\)
\(3\cdot\left(-8\right)=-24\)
\(4\cdot\left(-6\right)=-24\)
כעת, בואו נבדוק לאיזה מהתוצאות הללו יש סכום שווה -2, שבמקרה זה הוא:
\(4+\left(-6\right)=-2\)
אז, הפתרונות של המשוואה הזו הם \(x_1=4\ ו\x_2=-6\) .
קראו גם: כיצד לפתור משוואה ריבועית לא שלמה
תרגילים פתורים על סכום ומוצר
שאלה 1
לִהיוֹת y זה ז השורשים של משוואה 4איקס2-3איקס-1=0, הערך של 4(y+4)(z+4) é:
א) 75
ב) 64
ג) 32
ד) 18
ה) 16
פתרון הבעיה:
חלופה א'
חישוב לפי סכום ומוצר:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
אז, אנחנו צריכים:
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\left (y+z\right)+16\right )\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ ימין)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+3+16\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+19\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(\frac{76-1}{4}\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=75\)
שאלה 2
בהתחשב במשוואה 2איקס2 + 8x + 6 = 0, תן S להיות סכום השורשים של המשוואה הזו ו-P יהיה המכפלה של שורשי המשוואה, ואז ערך הפעולה (S - P)2 é:
א) 36
ב) 49
ג) 64
ד) 81
ה) 100
פתרון הבעיה:
חלופה ב'
חישוב לפי סכום ומוצר:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
אז, אנחנו צריכים:
\(\left(-4-3\right)^2=\left(-7\right)^2=49\)
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm
