ה פּרוֹפּוֹרצִיָה מוגדר כ- שוויון בין שניים סיבותאם שוויון זה נכון, אנו אומרים שהמספרים שהיו הסיבות בסדר הנתון הם פרופורציונליים.
חקר הפרופורציות חיוני להתפתחות מתמטית, מכיוון שהם מאפשרים לנו רשימהגדלות, ובכך לפתור בעיות בחיי היומיום שלנו. דוגמאות לפרופורציות הן: סולם של מפה, מהירות ממוצעת של נווט, וצפיפות של פתרון.
קרא גם: בעיות הכרוכות במספרים חלקיים
מהי סיבה ופרופורציה?
ה סיבה בין שני מספרים הוא ה-מָנָהביניהם לפי סדר נתינתם. תן ל- a ו- b להיות שני מספרים רציונליים, כאשר b שונה מ- 0, היחס בין a ל- b ניתן על ידי:
כשיש לך שתי סיבות ושניהם כן בהשוואה לשוויון, אם כן יש לנו פרופורציה. אם השוויון נכון אז המספרים יהיו פרופורציונליים, אחרת הם לא יהיו פרופורציונליים.
אתה מספר רציונליה, ב, ç ו ד הם פרופורציונליים אם ורק אם השוויון הבא נכון.
באופן דומה, אנו יכולים לומר כי השוויון יהיה נכון רק כאשר הכפלת ההצלבה נכונה.
a · d = b · c |
נכסי פרופורציה
שקול את היחס הבא בין המספרים ה, ב, ç ו ד:
אז המאפיינים הבאים תקפים:
נכס 1 - תוצר האמצעי שווה לתוצר הקיצוניות (כפל צולב).
נכס 2 הסיבה בין סְכוּם (אוֹ הֶבדֵל) של שני המונחים הראשונים והמונח הראשון שווה ליחס הסכום (או ההפרש) של שני המונחים האחרונים והמונח השלישי.
קרא גם: מאפייני פרופורציה - מה הם ואיך לחשב?
איך מחשבים פרופורציות
כדי לבדוק או לחשב אם, למעשה, המספרים הם פרופורציונליים, פשוט החל את המאפיין הראשון, אם השוויון נכון, ואז המספרים הם פרופורציונליים. ראה את הדוגמאות:
דוגמה 1
בדוק שהמספרים 15, 30, 45 ו- 90 הם פרופורציונליים.
עלינו, לפי הסדר הזה, להרכיב את היחסים ואז להכפיל.
שים לב שהשוויון נכון, ולכן המספרים יוצרים, לפי הסדר הזה, פרופורציה.
דוגמה 2
המספרים 2, 4, x ו- 32 ידועים כי הם פרופורציונליים. קבע את הערך של x.
לפי ההשערה, יש לנו שהמספרים, לפי סדר הצגתם, הם פרופורציונליים, כך שנוכל להשוות את היחס ביניהם ולהחיל על מאפיין 1, ראה:
כמויות פרופורציונליות באופן ישיר והפוך
גְדוּלָה, במתמטיקה, זה כן כל מה שאפשר למדוד או למדוד, למשל, כמות, מרחק, מסה, נפח וכו '. הכמויות יכולות להיות פרופורציונליות ישירות (תוצר) או פרופורציונאלי הפוך (GIP), בואו נראה את ההבדל ביניהן:
כמויות פרופורציונליות ישירות
אנו אומרים ששתי כמויות או יותר פרופורציונליות ישירות אם היחס בין ערכי הכמות הראשונה שווים לערכי הכמות השנייה, וכולי. לדוגמא, כמות המסה פרופורציונאלית ל- מִשׁקָל של אובייקט, ראה את הטבלה:
מסה (ק"ג) |
משקל (N) |
30 |
300 |
60 |
600 |
80 |
800 |
שימו לב שהיחס בין הכמויות תמיד זהה:
אותו דבר יקרה אם נבין את היחס בין הערכים האחרים.
דרך נוספת לדעת אם שתי כמויות או יותר פרופורציונליות ישירות היא לבדוק את צמיחה או ירידה של שניהם. לדוגמא, אם כמות אחת עולה, על השנייה גם להגדיל אם הם פרופורציונליים ישירות. בואו נסתכל על הדוגמה:
בטבלת משקל המסה x, ראו שככל שמסת האובייקט גדולה יותר (↑), כך משקלו הגדול יותר (↑), כך שהכמויות פרופורציונליות ישירות.
דוגמא
המספרים x, t ו- 2 הם ביחס ישר למספרים 5, 6 ו- 10. קבע את הערכים של x ו- t.
כפי שהדוגמה אמרה לנו שהמספרים הם פרופורציונליים באופן ישיר, כך שהיחס ביניהם הוא שווה, כך:
הכפלת כל אחד מהשוויוניות, ויש לנו:
5x = 5
x = 1
ו
5t = 6
t = 6 ÷ 5
t = 1.2
לכן, x = 1 ו- t = 1.2.
כמויות פרופורציונליות הפוכות
שתי כמויות או יותר יהיו פרופורציונליות הפוכה אם היחס בין הערכים של הראשון שווה להיפך של היחס בין הערכים של השנייה. אנו יכולים לפרש זאת בדרך אחרת, אם כמות אחת גדלה (↑) והכמות השנייה פוחתת (↓), אז הם פרופורציונאליים הפוכים. ראה את הדוגמה:
המהירות והזמן הם ביחס הפוך.
מהירות (קמ"ש) |
זמן (שעות) |
50 |
2 |
100 |
1 |
150 |
0 |
שים לב שככל שהמהירות של נסיעה נתונה מהירה יותר (↑), זמן הנסיעה ההוא קצר יותר (↓). ראה גם שאם ניקח את היחס בין שני ערכים של הכמות הראשונה ואת ההפך של היחס בין שני ערכים של הכמות השנייה, השוויון יהיה נכון.
דוגמא
חלק את המספר 120 לחלקים ביחס הפוך למספרים 4 ו -6.
מכיוון שאנחנו רוצים לפצל את המספר 120 לשני חלקים ואנחנו לא מכירים אותם, בואו נקרא להם ה ו 120 - א. על פי הגדרתו של פרופורציונאלי הפוך, היחס בין הערכים הראשונים שווה להיפך של היחס בין שני הערכים האחרונים. לכן:
כמו החלק השני הוא 120 - a, אז:
120 - ה
120 – 72
48
לכן, על ידי חלוקת המספר 120 לחלקים ביחס הפוך למספרים 4 ו -6, נקבל 72 ו -48.
תרגיל נפתר
שאלה 1 - (Fuvest) בטבלה הבאה, y הוא ביחס הפוך לריבוע x. חשב את הערכים של p ו- m.
איקס |
y |
1 |
2 |
2 |
0 |
M |
8 |
פתרון הבעיה
שים לב שההצהרה קובעת שהערכים של y הם ביחס הפוך לריבוע של כלומר, היחס בין ערכי y יהיה שווה להופכי הערכים x בריבוע.
בעזרת אותה היגיון, נקבע את הערך של m.
מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה
