פעולות עם מספרים מורכבים בצורה טריגונומטרית מקלות על חישוב הכרוך באלמנטים של מערך זה. ריבוי וחלוקה של קומפלקסים שנמצאים בצורה טריגונומטרית נעשים כמעט באופן מיידי, ואילו בצורה אלגברית התהליך דורש חישובים נוספים. הפוטנציאל וההקרנה של קומפלקסים בצורה טריגונומטרית מקלים גם על ידי שימוש בנוסחאות של Moivre. בואו נראה כיצד השתרשות המספרים הללו מתבצעת:
שקול כל מספר מורכב z = a + bi. הצורה הטריגונומטרית של z היא:
שורשי ה- n-index של z ניתנים על ידי נוסחת Moivre השנייה:
דוגמה 1. מצא את השורשים הריבועיים של 2i.
פתרון: ראשית עלינו לכתוב את המספר המורכב בצורה טריגונומטרית.
כל המספר המורכב הוא בצורה z = a + bi. אז עלינו:
אנו יודעים גם כי:
בעזרת ערכי הסינוס והקוסינוס אנו יכולים להסיק כי:
לפיכך, הצורה הטריגונומטרית של z = 2i היא:
כעת, בואו נחשב את השורשים הריבועיים של z בעזרת הנוסחה של Moivre.
מכיוון שאנחנו רוצים את השורשים הריבועיים של z, נקבל שני שורשים מובחנים z0 וז1.
עבור k = 0, יהיה לנו
עבור k = 1, יהיה לנו:
אוֹ
דוגמה 2. קבל את השורשים הקוביים של z = 1 ∙ (cosπ + i ∙ senπ)
פתרון: מכיוון שהמספר המורכב כבר נמצא בטריגונומטריה, פשוט השתמש בנוסחה של מויבר. מההצהרה יש לנו ש ø = π ו- | z | = 1. לכן,
יהיו לנו שלושה שורשים מובחנים, z0, ז1 וז2.
עבור k = 0
עבור k = 1
או z1 = - 1, שכן cos π = - 1 ו- sin π = 0.
עבור k = 2
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
מאת מרסלו ריגונאטו
מומחה לסטטיסטיקה ולמודלים מתמטיים
צוות בית הספר בברזיל
מספרים מסובכים - מתמטיקה - בית ספר ברזיל
האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:
RIGONATTO, מרסלו. "קרינת מספרים מורכבים בצורה טריגונומטרית"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm. גישה אליו ב- 29 ביוני 2021.
