מערכות ליניאריות מורכבות ממכלול משוואות ליניאריות שקשר ביניהן. קשר זה, בתורו, מתרחש באמצעות מערך הפתרונות של משוואות אלה. כאשר אנו כותבים שתי משוואות או יותר במערכת ליניארית, אנו אומרים כי הפתרונות של משוואות אלה חייבים להיות שווים. הערכים שהלא ידוע מניחים כדי לאמת את אחת המשוואות חייבים להיות זהים עבור האחרים, כלומר, כל המשוואות של מערכת ליניארית זו צריכות להכיל את אותה פתרון.
לכן אנו אומרים שהסט (א1, א2, א3, …, הלא) הוא מערך הפתרונות של מערכת ליניארית, אם זה הפתרון של כל אחת ממשוואות המערכת הליניארית. בואו נסתכל על דוגמה כדי שנוכל להבין טוב יותר את כל התיאוריה הזו:
יש לנו מערכת עם שתי משוואות: במשוואה הראשונה אנו יכולים לרשום מספר קבוצות של פתרונות ש לספק משוואה זו, אולם עלינו למצוא, בין קבוצות אלה, אחת המספקת גם את השנייה משוואה. בואו ננתח את מערך הפתרונות (6.4):
• במשוואה x + y = 10. S = {(6,4)}, כלומר x = 6 ו- y = 4.
6 + 4 = 10 (שוויון אמיתי, ערכת פתרונות זו מספקת את המשוואה הראשונה)
• במשוואה 2x - y = 5 (x = 6 ו- y = 4)
יהיה לנו: 2.6 - 4 = 5 -> 8 = 5 (שקר)
מערך פתרונות זה אינו מספק את המשוואה השנייה, ולכן איננו יכולים לומר שמערך הפתרונות הזה הוא הפתרון של המערכת הליניארית.
בואו נסתכל על מערך הפתרונות (5.5). במקרה זה, שתי המשוואות יסתפקו בקבוצה זו, ולכן זהו מערך הפתרונות של המערכת הליניארית (1).
עם זאת, שים לב, בהתאם למערכת הליניארית, השגת מערך הפתרונות מסתבכת, רק על ידי חישוב נפשי של הפתרונות האפשריים של כל משוואה. עם זאת, ישנן שיטות חשבון לפתרון מערכת ליניארית, ורבות מהן כבר נחקרו בבית הספר היסודי. (תוספת, החלפה, השוואה)
לא תמיד ניתן יהיה למצוא מערך פתרונות העונה בפועל על כל המשוואות של מערכת נתונה. אל מול מבוי סתום זה, עלה הצורך לנתח את האפשרויות לקבלת ערכת הפתרונות זה איפשר לרשום 3 אפשרויות לסיווג מערכת ליניארית על פי מערך הפתרונות שלה. נושא זה סוקר במאמר. סיווג מערכת לינארית.
מאת גבריאל אלסנדרו דה אוליביירה
בוגר מתמטיקה
צוות בית הספר בברזיל.
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-lineares.htm
