מטריצת זהות: מה זה, מאפיינים, סיכום

א מטריצת זהות הוא סוג מיוחד של מַטֶה. אנו מכירים כמטריצת זהות I_נ המטריצה ​​הריבועית בסדר n שכל האיברים באלכסון שווים ל-1 ואיברים שאינם שייכים לאלכסון הראשי שווים ל-0. מטריצת הזהות נחשבת למרכיב הנייטרלי של הכפל, כלומר, אם נכפיל מטריצה M לפי מטריצת הזהות, אנו מוצאים כתוצאה מכך את המטריצה ​​עצמה M.

ראה גם: מהו הקובע של מטריצה?

נושאי מאמר זה

• 1 - סיכום על מטריצת הזהות
• 2 - מהי מטריצת הזהות?
  • ? סוגי מטריצות זהות
• 3 - מאפייני מטריצת הזהות
• 4 - כפל מטריצת הזהות
• 5 - פתרו תרגילים על מטריצת זהות

סיכום על מטריצת זהות

• מטריצת הזהות היא המטריצה ​​המרובעת עם אלמנטים אלכסוניים ראשיים שווים ל-1 ושאר האלמנטים שווים ל-0.

• יש מטריצות זהות בסדרים שונים. אנו מייצגים את מטריצת הזהות של הסדר נ על ידי אני _נ.

• מטריצת הזהות היא האלמנט הנייטרלי של כפל המטריצה, כלומר, \( A\cdot I_n=A.\)

• המכפלה של מטריצה ​​מרובעת והמטריצה ​​ההפוכה שלה היא מטריצת הזהות.

מהי מטריצת זהות?

מטריצת הזהות היא א סוג מיוחד של מטריצה ​​מרובעת. מטריצה ​​מרובעת ידועה כמטריצת זהות אם יש בה כל האלמנטים באלכסון הראשי שווים ל-1 וכל שאר האלמנטים שווים ל-0. ואז, בכל מטריצת זהות:

➝ סוגי מטריצות זהות

יש מטריצות זהות בסדרים שונים. הסדר נ מיוצג על ידי I_נ. בוא נראה להלן כמה מטריצות של סדרים אחרים.

• הזמנה 1 מטריצת זהות:

\(I_1=\left[1\right]\)

• מטריצת זהויות הזמנה 2:

\(I_2=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)

• הזמנה 3 מטריצת זהות:

\(I_3=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

• סדר 4 מטריצת זהויות:

\(I_4=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

• סדר 5 מטריצת זהויות:

\(I_5=\left[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

ברציפות, אנו יכולים לכתוב מטריצות זהות בסדרים שונים.

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום ;)

מאפייני מטריצת זהות

למטריצת הזהות יש תכונה חשובה, שכן היא האלמנט הנייטרלי של הכפל בין המטריצות. זה אומר ש כל מטריצה ​​כפולה במטריצת הזהות שווה לעצמה. לפיכך, בהינתן המטריצה ​​M של הסדר נ,יש לנו:

\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)

תכונה חשובה נוספת של מטריצת הזהות היא שה מכפלה של מטריצה ​​מרובעת ושלה מטריצה ​​הפוכה היא מטריצת הזהות. נתון מטריצה ​​מרובעת M של סדר נ, המכפלה של M בהיפוך שלו נתונה על ידי:

\(M\cdot M^{-1}=I_n\)

קרא גם: מהי מטריצה ​​משולשת?

הכפלה של מטריצת הזהות

כאשר נכפיל מטריצה ​​M במטריצת הזהות של הסדר נ, אנו מקבלים את המטריצה ​​M כתוצאה מכך. בוא נראה, להלן, דוגמה למכפלת המטריצה ​​M מסדר 2 לפי מטריצת הזהות מסדר 2.

\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) זה \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)

בהנחה ש:

\(A\cdot I_n=B\)

יש לנו:

\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)

אז התוצר של A by \(I_n\) זה יהיה:

\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)

\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)

\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)

\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)

שימו לב שהמונחים של מטריצה ​​B זהים למונחים של מטריצה ​​A, כלומר:

\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)

• דוגמא:

להיות M המטריקס \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), חשב את המכפלה בין המטריצה M ואת המטריצה \(I_3\).

פתרון הבעיה:

כשמבצעים את הכפל, יש לנו:

\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\rightend]{matrix)}

\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1\ +\ 0\cdot\ 0&4\cdot\ 0&1\cdot0 +\cdot0\\cdot0 \ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot1+1-\cdot0&cdot1+1\cdot0&cdot0&3 cdot 1\\\end{מטריקס}\right]\)

\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)

פתרו תרגילים על מטריצת זהות

שאלה 1

יש מטריצה ​​מרובעת בסדר 3 המוגדרת על ידי \(a_{ij}=1 \) מתי \(i=j\) זה \(a_{ij}=0\) זה מתי \(i\neq j\). המטריצה ​​הזו היא כמו:

א) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)

ב) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)

W) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

ד) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

ו) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)

פתרון הבעיה:

חלופה D

בניתוח המטריצה, יש לנו:

\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)

\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)

אז המטריצה ​​שווה ל:

\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

שאלה 2

(UEMG) אם המטריצה ​​ההפוכה של \(A=\left[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \left[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), הערך של x הוא:

א) 5

ב) 6

ג) 7

ד) 9

פתרון הבעיה:

חלופה א'

מכפלת המטריצות, אנו מבינים שהמכפלה שלהן שווה למטריצת הזהות. חישוב המכפלה של השורה השנייה של המטריצה ​​לפי העמודה הראשונה של היפוך שלה, יש לנו:

\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\right)=0\)

\(15-3x=0\)

\(-\ 3x=0-15\ \)

\(-\ 3x=-\ 15\)

\(x=\frac{-15}{-3}\)

\(x=5\ \)

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בעבודה בית ספרית או אקדמית? תראה:

OLIVEIRA, ראול רודריגס דה. "מטריצת זהות"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm. ניגש ב-20 ביולי 2023.

הבנת היישום של מטריצות היא עובדה חשובה על מנת לא להישאר מאחור בבחינת הכניסה. יישום המטריצות בבחינות הכניסה מתבצע על ידי התייחסות לכמה ממושגי המטריצות בשאלה אחת בלבד.

למד כיצד לחשב את הקובעים של מטריצות מרובעות בסדר 1, 2 ו-3. למד כיצד להשתמש בכלל של Sarrus. הכר את תכונותיהם של הקובעים.

הבן כאן את ההגדרות והפורמליזציות של מבנה המטריצה. ראה גם כיצד להפעיל את האלמנטים שלו ואת סוגי המטריצות השונות.

לחץ כאן ולמד מהי מטריצה ​​סימטרית. דע את תכונותיו וגלה במה הוא שונה ממטריצה ​​אנטי סימטרית.

הבן מהי מטריצת טרנספוזיציה. הכר את התכונות של מטריצה ​​שעברה טרנספוזיציה. למד כיצד למצוא את המטריצה ​​המוטרפת של מטריצה ​​נתונה.

למד לחשב את הכפל בין שתי מטריצות, כמו גם לדעת מהי מטריצת הזהות ומהי המטריצה ​​ההפוכה.

מכיר את הכלל של קריימר. למד להשתמש בכלל של קריימר כדי למצוא פתרונות למערכת ליניארית. ראה דוגמאות עובדות של הכלל של קריימר.

האם אתה מכיר את חוק סרוס? למד כיצד להשתמש בשיטה זו כדי למצוא את הקובע של מטריצות 3x3.

לִזחוֹל

הסלנג המותאם מאנגלית משמש לייעד מישהו שנתפס כדביק, מביש, מיושן ולא אופנה.

נוירודיסיטי

מונח שנטבע על ידי ג'ודי סינגר, הוא משמש לתיאור המגוון הרחב של הדרכים שבהן המוח האנושי מתנהג.

PL של חדשות מזויפות

המכונה גם PL2660, היא הצעת חוק הקובעת מנגנונים להסדרת רשתות חברתיות בברזיל.