מטריצה סימטרית הוא מַטֶה שבו כל אלמנט \(a_{ij}\) שווה ליסוד \(a_{ji}\) עבור כל הערכים של i ו-j. כתוצאה מכך, כל מטריצה סימטרית שווה לטרנספוזיה שלה. ראוי גם להזכיר שכל מטריצה סימטרית היא מרובעת ושהאלכסון הראשי פועל כציר סימטריה.
קרא גם:חיבור וחיסור מטריקס - איך לחשב?
תקציר על מטריצה סימטרית
במטריצה סימטרית, \(a_{ij}=a_{ji}\) עבור כל i ו-j.
כל מטריצה סימטרית היא מרובעת.
כל מטריצה סימטרית שווה לטרנספוזיה שלה.
האלמנטים של מטריצה סימטרית הם סימטריים לגבי האלכסון הראשי.
בעוד במטריצה הסימטרית \(a_{ij}=a_{ji}\) עבור כל i ו-j; במטריצה אנטי סימטרית, \(a_{ij}=-a_{ji}\) עבור כל i ו-j.
מהי מטריצה סימטרית?
מטריצה סימטרית היא מטריצה מרובעת איפה \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) לכל i וכל j. זה אומר ש \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), וכן הלאה, עבור כל הערכים האפשריים של i ו-j. זכור שהערכים האפשריים של i מתאימים לשורות המטריצה והערכים האפשריים של j תואמים לעמודות המטריצה.
דוגמאות למטריצות סימטריות
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\)
, \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)דוגמאות למטריצות לא סימטריות (שקול \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
חָשׁוּב: לומר שמטריצה אינה סימטרית פירושו להראות זאת \(a_{ij}≠a_{ji}\) לפחות עבור כמה i ו-j (שנוכל לראות על ידי השוואת הדוגמאות הקודמות). זה שונה ממושג המטריצה האנטי-סימטרית, אותו נראה בהמשך.
מהן התכונות של המטריצה הסימטרית?
כל מטריצה סימטרית היא מרובעת
שימו לב שההגדרה של מטריצה סימטרית מבוססת על מטריצות מרובעות. לפיכך, לכל מטריצה סימטרית יש את אותו מספר שורות כמו מספר העמודות.
כל מטריצה סימטרית שווה לטרנספוזיה שלה
אם A היא מטריצה, שלה מְשׁוּרבָּב (\(A^T\)) מוגדרת כמטריצה שהשורות שלה הן העמודות של A והעמודות שלה הן השורות של A. אז אם A היא מטריצה סימטרית, יש לנו \(A=A^T\).
במטריצה הסימטרית, האלמנטים "משתקפים" ביחס לאלכסון הראשי
כפי ש \(a_{ij}=a_{ji}\) במטריצה סימטרית, האלמנטים מעל האלכסון הראשי הם "השתקפויות" של האלמנטים שמתחת של האלכסון (או להיפך) ביחס לאלכסון, כך שהאלכסון הראשי פועל כציר של סִימֶטרִיָה.
מה ההבדלים בין המטריצה הסימטרית למטריצה האנטי-סימטרית?
אם A היא מטריצה סימטרית, אז \(a_{ij}=a_{ji}\) עבור כל i וכל j, כפי שלמדנו. במקרה של המטריצה האנטי-סימטרית, המצב שונה. אם B היא מטריצה אנטי סימטרית, אז \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) לכל i וכל j.
שימו לב שהתוצאה היא \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), זה, האלמנטים האלכסוניים העיקריים הם אפס. תוצאה של זה היא שהטרנספוזה של מטריצה אנטי סימטרית שווה להיפך שלה, כלומר, אם B היא מטריצה אנטי סימטרית, אז \(B^T=-B\).
דוגמאות למטריצות אנטי סימטריות
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
ראה גם: מטריצת זהות - המטריצה שבה האלמנטים האלכסוניים העיקריים שווים ל-1 ושאר האלמנטים שווים ל-0
פתרו תרגילים על מטריצה סימטרית
שאלה 1
(Unicentro)
אם המטריצה \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) הוא סימטרי, אז הערך של xy הוא:
א) 6
ב) 4
ג) 2
ד) 1
ה) -6
פתרון הבעיה:
חלופה א'
אם המטריצה הנתונה היא סימטרית, אז האלמנטים במיקומים סימטריים שווים (\(a_{ij}=a_{ji}\)). לכן, עלינו:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
מחליף את הראשון משוואה בשנייה, אנו מסיקים זאת \(y=3\), בקרוב:
\(x=2\) זה \(xy=6\)
שאלה 2
(UFSM) בידיעה שהמטריקס \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) שווה לטרנספוזי שלו, הערך של \(2x+y\) é:
א) -23
ב) -11
ג) -1
ד) 11
ה) 23
פתרון הבעיה:
חלופה C
מכיוון שהמטריצה הנתונה שווה לטרנספוזיה שלה, אז היא מטריצה סימטרית. לפיכך, אלמנטים במיקומים סימטריים שווים (\(a_{ij}=a_{ji}\)), כלומר:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
לפי המשוואה הראשונה, x=-6 אוֹ x=6. לפי המשוואה השלישית, נקבל את התשובה הנכונה: x= -6. לפי המשוואה השנייה, y=11.
בקרוב:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
מאת מריה לואיזה אלבס ריזו
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
