תרופה: מה זה, דוגמאות, איך לחשב

O אפוטם של מצולע הוא קטע עם נקודות קצה במרכז המצולע ובאמצע אחת הצלעות. קטע זה יוצר זווית של 90 מעלות עם הצלע המתאימה של המצולע.

כדי לחשב את מידת האפוטם, יש צורך לשקול את המאפיינים של המצולע המדובר. בהתאם לצורה הגיאומטרית, ניתן לבנות נוסחה לקבלת מדידה זו. תצפית חשובה היא שמידת האפוטם של מצולע רגיל שווה למידת רדיוס ההיקף הרשומה במצולע.

קראו גם: מהו החציון?

תקציר על האפוטם

• האפוטם הוא קטע של מצולע המחבר את המרכז (נקודת המפגש של חצויים מאונכים) לנקודת האמצע של אחת הצלעות.

• הזווית בין האפוטם לצלע המתאימה של המצולע היא 90°.

• מידת האפוטם של מצולע רגיל שווה למידת רדיוס המעגל החתום במצולע.

• המילה OM של משולש שווה צלעות של צלעות ל ניתן על ידי הנוסחה

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

• המילה OM של ריבוע של צד ל ניתן על ידי הנוסחה

\(OM = \frac{l}2\)

• המושג OM של משושה רגיל בצד אחד ל ניתן על ידי הנוסחה

\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)

• התפיסה של פירמידה היא הקטע שמחבר את הקודקוד לנקודת האמצע של אחד מקצוות הבסיס, ואת מידתו ניתן לקבל על ידי משפט פיתגורס.

דוגמאות לאפוטם

כדי למצוא את המילה של מצולע, עלינו לבנות את קטע קו המחבר את מרכז המצולע עם נקודת האמצע של אחת הצלעות. זכור שמרכז המצולע הוא המקום שבו חוצים נפגשים.

אפוטם של משולש שווה צלעות, ריבוע, מחומש רגיל ומשושה רגיל, בהתאמה.

בדוגמאות אלה, האפוטם נחשב במצולעים מישוריים. עם זאת, ישנו אובייקט חלל שיש לו סוג אחר של אפוטמיה: הפירמידה.

בפירמידה, ישנם שני סוגים של אפוטם: אפוטם הבסיס, שהוא אפוטם המצולע היוצר את בסיס הפירמידה, ואפוטם הפירמידה, שהוא קטע המחבר את הקודקוד לנקודת האמצע של קצה הבסיס (כלומר, זהו גובה פני הצד של הבסיס). פִּירָמִידָה).

בדוגמה של הבסיס הריבועי להלן, קטע OM הוא הבסיס של הבסיס וקטע VM הוא הבסיס של הפירמידה, כאשר M הוא נקודת האמצע של BC.

פירמידת בסיס מרובעת

מהן הנוסחאות לאפוטם?

הכרת המאפיינים של מצולע, במיוחד מצולעים רגילים, נוכל לפתח נוסחאות לחישוב מידת האפוטם. בואו נראה מהן הנוסחאות הללו עבור המצולעים הרגילים העיקריים.

• נוסחת משולש שווה צלעות

ב מקרה משולש שווה צלעות, הגובה והחציון ביחס לצלע נתונה זהים. המשמעות היא שמרכז המצולע חופף ל- barycenter של המשולש. לפיכך, הנקודה O מחלקת את הגובה AM באופן הבא:

\(AO = \frac{2}3 לפנות בוקר\) זה \(OM=\frac{1}3 לפנות בוקר\)

זכור כי המידה של גובה משולש שווה צלעות ל ניתן ע"י:

\(גובה\ משולש\ שווה צלעות=\frac{l\sqrt3}2\)

לכן, מכיוון ש-AM הוא גובה המשולש שווה-צלעות ABC והקטע OM הוא התפיסה של המשולש, נוכל לפרט את הביטוי הבא עבור המידה של OM, בהתחשב בכך שהצלע של המשולש מודדת ל:

\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

• אפוטם של נוסחת הריבוע

במקרה של הכיכר, המידה של האפוטם מתאימה למחצית מאורך הצלע. לפיכך, אם O הוא מרכז הריבוע, M היא נקודת האמצע של אחת הצלעות, ו ל הוא אורך הצלע של הריבוע, כך שהנוסחה לאפוטם OM היא

\(OM=\frac{l}2\)

• נוסחת אפוטם משושה רגילה

במשושה הרגיל, האפוטם מתאים לגובה של משולש שווה צלעות עם קודקודים בשני קצוות של אחת הצלעות ובמרכז המצולע. בדוגמה שלמטה, האפוטם OM של המשושה הרגיל הוא גובה המשולש שווה הצלעות OCD, כאשר M היא נקודת האמצע של CD.

כפי שהזכרנו קודם, הגובה של משולש שווה צלעות ידוע. לפיכך, אם הצד של משושה רגיל מודד ל, אז הנוסחה לאפוטם OM היא

\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)

• נוסחת אפוטם פירמידה

ניתן לקבל את המידה של המילה של הפירמידה עם ה עזרה במשפט פיתגורס. בדוגמה שלהלן, בפירמידה מרובעת, המשולש VOM הוא מלבן, עם רגליים VO ו-OM ותחתית VM. שים לב ש-VO הוא גובה הפירמידה, OM הוא התפיסה של הבסיס ו-VM הוא התפיסה של הפירמידה.

פירמידת בסיס מרובעת

לפיכך, כדי לקבוע את מידת ההיגיון של הפירמידה, עלינו ליישם את משפט פיתגורס:

\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)

זָהִיר! VM הוא גובהו של משולש שווה שוקיים, לא משולש שווה שוקיים. לכן, במקרה זה, איננו יכולים להשתמש בנוסחה לגובה של משולש שווה צלעות.

כיצד מחושב ההטבה?

כדי לחשב את האפוטם של מצולע או הפירמידה, נוכל להשתמש בנוסחאות הבנויות או לשייך את האפוטם לרדיוס של המעגל הכתוב.

• דוגמה 1: נניח שמעגל ברדיוס 3 ס"מ רשום במשולש שווה צלעות. מהי מידת האפוטם של המשולש הזה?

כיוון שלתפיסה של מצולע יש אותה מידה כמו רדיוס המעגל הכתוב, האפוטם של המשולש בגודל 3 ס"מ.

• דוגמה 2: מהי מידת האפוטם של משושה רגיל עם צלע של 4 ס"מ?

שימוש בנוסחה לאפוטם של משושה רגיל עם \(l=4\) ס"מ, אנחנו חייבים

\(מדידה\ של\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)

קראו גם: הכל על הנקודות הבולטות של משולש

פתרו תרגילים על האפוטם

שאלה 1

אם לפירמידה בגובה 4 ס"מ יש אפוטם בסיס של 3 ס"מ, אזי המדידה של אפוטם הפירמידה היא

א) 5 ס"מ

ב) 6 ס"מ

ג) 7 ס"מ

ד) 8 ס"מ

ה) 9 ס"מ

פתרון הבעיה:

בפירמידה, נוכל לבנות משולש ישר זווית שבו רגל אחת היא התפיסה של הבסיס, הרגל השנייה היא גובה הפירמידה והתחתון הוא התפיסה של הפירמידה. לפיכך, החלת משפט פיתגורס על התחתון של מידה x,

\(x^2=3^2+4^2\)

\(x = 5\ ס"מ\)

חלופה א'.

שאלה 2

אם המילה של ריבוע היא y ס"מ, אז הצלע של הריבוע היא

ה) \(\frac{1}3y \) ס"מ

ב) \(\frac{1}2y \) ס"מ

ג) y ס"מ

ד) 2י ס"מ

ה) 3י ס"מ

פתרון הבעיה

האפוטם של ריבוע הוא מחצית מאורך הצלע של הריבוע. לכן, אם האפוטם בגודל y ס"מ, הריבוע בגודל 2y ס"מ.

חלופה D.

מאת מריה לואיזה אלבס ריזו
מורה למתמטיקה