שטח המעוין: איך לחשב, נוסחה, אלכסון

א אזור היהלומים הוא המדידה של האזור הפנימי שלו. דרך אחת לחשב את השטח של מעוין הוא לקבוע את מחצית המכפלה בין האלכסון הגדול יותר לאלכסון הקטן יותר, שמידותיו מיוצגות על ידי ד זה ד בהתאמה.

קראו גם: כיצד לחשב שטח של ריבוע?

נושאי מאמר זה

• 1 - סיכום על אזור המעוין
• 2 - אלמנטים של המעוין
• 3 - תכונות האלכסונים של המעוין
• 4 - נוסחה לאזור המעוין
• 5 - כיצד לחשב את השטח של מעוין?
• 6 - תרגילים על אזור המעוין

סיכום על אזור המעוין

• מעוין הוא מקבילית עם ארבע צלעות חופפות וזוויות מנוגדות.

• שני האלכסונים של מעוין ידועים בתור האלכסון הגדול יותר (ד) ואלכסון קטן יותר (ד).

• כל אלכסון של מעוין מחלק את המצולע הזה לשני משולשים חופפים.

• שני האלכסונים של המעוין מאונכים ומצטלבים בנקודות האמצע שלהם.

• הנוסחה לחישוב שטח המעוין היא:

\(A=\frac{D\times d}{2}\)

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום ;)

אלמנטים מעוינים

היהלום הוא מקבילית נוצר על ידי ארבע צלעות באורך שווה ובזוויות הפוכות מאותה מידה. ביהלום למטה, יש לנו \(\overline{PQ}=\overline{QR}=\overline{RS}=\overline{SP}\), \(\hat{P}=\hat{R}\) זה \(\hat{Q}=\hat{S}\).

הקטעים עם קצוות בקודקודים מנוגדים הם האלכסונים של המעוין. בתמונה למטה, אנו קוראים לקטע 

\(\overline{PR}\) ב אלכסון גדול יותר והקטע \(\overline{QS}\) ב אלכסון קטן יותר.

תכונות אלכסוניות של המעוין

בואו נכיר שתי תכונות הקשורות באלכסוני המעוין.

• נכס 1: כל אלכסון מחלק את המעוין לשני משולשים שווה שוקיים חופפים.

 ראשית שקול את האלכסון הגדול יותר \(\overline{PR}\) של מעוין PQRS לְיַד ל.

תבין את זה \(\overline{PR}\) מחלקים את המעוין לשני משולשים: PQR זה PSR. עדיין:

\(\overline{PQ}=\overline{PS}=l\)

\(\overline{QR}=\overline{SR}=l\)

\(\overline{PR}\) זה צד משותף.

לפיכך, לפי קריטריון LLL, המשולשים PQR זה PSR הם תואמים.

עכשיו שקול את האלכסון הקטן יותר \(\overline{QS}\).

תבין את זה \(\overline{QS} \) מחלקים את המעוין לשני משולשים: PQS זה RQS. עדיין:

\(\overline{PQ}=\overline{RQ}=l\)

\(\overline{PS}=\overline{RS}=l\)

\(\overline{QS}\) זה צד משותף.

לפיכך, לפי קריטריון LLL, המשולשים PQS זה RQS הם תואמים.

• נכס 2: האלכסונים של מעוין מאונכים ומצטלבים זה בנקודת האמצע של זה.

הזווית שנוצרת על ידי האלכסונים \(\overline{PR}\) זה \(\overline{QS}\) מודד 90 מעלות.

זהO נקודת המפגש של האלכסונים \(\overline{{PR}}\) זה \(\overline{{QS}}\); ככה, O הוא נקודת האמצע של \(\overline{PR}\) והוא גם נקודת האמצע של \(\overline{QS}\). אם \( \overline{PR}\)תן לי ד זה \(\overline{QS}\) תן לי ד, זה אומר ש:

\(\overline{PO}=\overline{OR}=\frac{D}{2}\)

\(\overline{QO}=\overline{OS}=\frac{d}{2}\)

תַצְפִּית: שני האלכסונים של מעוין מחלקים את הדמות הזו לארבעה משולשים ישרים חופפים. לשקול את המשולשים PQO, RQO, PSO זה RSO. שימו לב שלכל אחד יש צד מדידה. ל (התחתון), אחד של מידה \(\frac{D}{2}\) ועוד מידה \(\frac{d}{2}\).

ראה גם: השוואה ודמיון בין משולשים

נוסחת אזור מעוינים

זה ד אורך האלכסון הגדול יותר ו ד מידת האלכסון הקטן יותר של מעוין; הנוסחה עבור שטח המעוין היא:

\(A=\frac{D\times d}{2}\)

להלן הדגמה של נוסחה זו.

לפי התכונה הראשונה שלמדנו בטקסט זה, האלכסון \(\overline{QS}\) לחלק את היהלום PQRS לשני משולשים חופפים (PQS זה RQS). זה אומר שלשני המשולשים האלה יש אותו שטח. כתוצאה מכך, שטח המעוין הוא פי שניים משטחו של אחד מהמשולשים הללו.

\(A_{\mathrm{diamond}}=2\times A_{משולש} PQS\)

לפי התכונה השנייה שלמדנו, בסיס המשולש PQS תן לי ד ומידות הגובה ד2. זכור שניתן לחשב את שטח המשולש לפי בסיס × גובה2. בקרוב:

\(A_{\mathrm{diamond}}=2\times A_{משולש} PQS\)

\(A_{\mathrm{diamond}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)

\(A_{\mathrm{diamond}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)

\(A_{\mathrm{יהלום}}=\frac{D\times d}{2}\)

כיצד לחשב את השטח של מעוין?

כפי שראינו, אם מודיעים על מידות האלכסונים, זה מספיק ליישם את הנוסחה לחישוב השטח של מעוין:

\(A=\frac{D\times d}{2}\)

אחרת, עלינו לאמץ אסטרטגיות אחרות, תוך התחשבות, למשל, במאפיינים של המצולע הזה.

דוגמה 1: מהו שטחו של מעוין שהאלכסונים שלו 2 ס"מ ו-3 ס"מ?

ביישום הנוסחה, יש לנו:

\(A_{\mathrm{יהלום}}=\frac{D\times d}{2}\)

\(A_{\mathrm{יהלום}}=\frac{3\times2}{2}\)

\(A_{\mathrm{יהלום}}=3 ס"מ²\)

דוגמה 2: מהו שטחו של מעוין שהצד שלו והאלכסון הקטן יותר, בהתאמה, 13 ס"מ ו-4 ס"מ?

על ידי התבוננות בנכס 2, האלכסונים של מעוין מחלקים את המצולע הזה לארבעה משולשים ישרים חוֹפֵף. לכל משולש ישר זווית יש רגלי מידה \(\frac{d}{2}\) זה \(\frac{D}{2}\) ולמדוד hypotenuse ל. לפי משפט פיתגורס:

\(l^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\)

מחליף \(d=4 ס"מ\) זה d=4 ס"מ, אנחנו חייבים

\(\left(\sqrt{13}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\ )

\(13=4+\frac{D^2}{4}\)

\(D^2=36\)

כפי ש ד הוא המדד של קטע, נוכל לשקול רק את התוצאה החיובית. כְּלוֹמַר:

D=6

ביישום הנוסחה, יש לנו:

\(A_{\mathrm{יהלום}}=\frac{D\times d}{2}\)

\(A_{\mathrm{יהלום}}=\frac{6\times4}{2}\)

\(A_{\mathrm{יהלום}}=\ 12 ס"מ²\)

יודע יותר: נוסחאות המשמשות לחישוב השטח של דמויות מישוריות

תרגילים על אזור המעוין

שאלה 1

(פאואל) במעוין מידות האלכסונים 13 ו-16 ס"מ. מהי המדידה של האזור שלך?

א) 52 ס"מ רבוע

ב) 58 ס"מ רבוע

ג) 104 ס"מ רבוע

ד) 208 ס"מ רבוע

ה) 580 ס"מ

פתרון הבעיה: חלופה C

ביישום הנוסחה, יש לנו:

\(A_{\mathrm{יהלום}}=\frac{D\times d}{2}\)

\(A_{\mathrm{יהלום}}=\frac{16\times13}{2}\)

\(A_{\mathrm{יהלום}}=\ 104 ס"מ²\)

שאלה 2

(פפסה) מפעל מייצר חלקי קרמיקה בצורת יהלום, שהאלכסון הקטן יותר שלו הוא רבע מהאלכסון הגדול יותר והאלכסון הגדול יותר בגודל 84 ס"מ.

לכן, השטח של כל פריט קרמיקה המיוצר על ידי מפעל זה, במטרים רבועים, הוא:

א) גדול מ-0.5.

ב) גדול מ-0.2 ופחות מ-0.5.

ג) גדול מ-0.09 ופחות מ-0.2.

ד) גדול מ-0.07 ופחות מ-0.09.

ה) פחות מ-0.07.

פתרון הבעיה: חלופה ד'

אם ד הוא האלכסון הגדול יותר ו ד הוא האלכסון הקטן יותר, אז:

\(d=\frac{1}{4}D\)

\(d=\frac{1}{4}\cdot84\)

\(d=21 ס"מ\)

יישום הנוסחה, יש לנו

\(A_{\mathrm{יהלום}}=\frac{D\times d}{2}\)

\(A_{\mathrm{יהלום}}=\frac{84\times21}{2}\)

\(A_{\mathrm{diamond}}=882 cm²\)

כמו 1 cm² מתאים \(1\cdot{10}^{-4} m²\), לאחר מכן:

\(\frac{1\ cm^2}{882\ cm^2}=\frac{1\cdot{10}^{-4}\ m^2}{x}\)

\(x=0.0882 מ"ר\)

מאת מריה לואיזה אלבס ריזו
מורה למתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בעבודה בית ספרית או אקדמית? תראה:

RIZZO, מריה לואיזה אלבס. "אזור המעוין"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-do-losango.htm. נגישה ב-12 במאי 2023.

למד את ההגדרה של מקבילית ותכונותיה, וכן למד על המקביליות העיקריות והנוסחאות שלהן לשטח והיקף.

למד מהם מצולעים ומהם האלמנטים שלהם. הכר את שיטת מתן השמות למצולעים וכיצד אנו מוסיפים את הזוויות הפנימיות והחיצוניות.

הכירו את המרובעים ואת המאפיינים הבסיסיים שמובילים אותם לסיווגם כמקביליות, טרפז או אף אחד מהם.

בדקו את המקרים בהם ניתן לבדוק את הדמיון של משולשים ללא צורך במדידת כל צלעותיהם וזוויותיהם.

משפט פיתגורס הוא אחד הכלים החשובים ביותר בחקר משולשים. לחץ כאן, למד על הנוסחה שלו וגלה כיצד ליישם אותה!

הבן מהו משולש, וכן למד כיצד לחשב את השטח וההיקף שלו. ראה גם את סוגי הדמות הזו ולמד לזהות כל אחד מהם.

למד לחשב את השטח של דמות מישור. הכר את נוסחאות השטח של הדמויות השטוחות הראשיות, כגון הריבוע, המלבן, המשולש, העיגול, המעוין והטרפז.

לחץ כאן, למד כיצד לחשב את שטח המשולש ולדעת את הנוסחאות הספציפיות לביצוע חישוב זה לפי כל מקרה ומקרה.