אחת הטכניקות המשמשות לפתרון משוואות ריבועיות היא השיטה המכונה ריבועים שלמים. שיטה זו מורכבת מפרשנות משוואה שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר כ טרינום מרובע מושלם וכתוב את הטופס המצורף שלך. לפעמים הליך פשוט זה כבר חושף את שורשי המשוואה.
לכן, יש צורך בידע בסיסי אודות מוצרים בולטים, טרינוםכיכרמושלם ו פקטוריזציה פולינומית להשתמש בטכניקה זו. אולם לעתים קרובות, הוא מאפשר לבצע חישובים "בראש".
לכן ניזכר בשלושת המקרים של מוצריםראוי לציון לפני שמדגים את שיטהלהשליםריבועים, שבתורם, ייחשפו בשלושה מקרים שונים.
מוצרים מצטיינים וטרינומיאלים מרובעים מושלמים
לאחר מכן, ראה את המוצר המדהים, ה- טרינוםכיכרמושלם שווה ערך לזה ולצורה מחושב של טרינום זה, בהתאמה. לשם כך, קח בחשבון ש- x אינו ידוע ו- ה הוא מספר ממשי כלשהו.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
משוואת התואר השני המתייחסת לשלישית מוצרראוי לציון, המכונה תוצר הסכום וההפרש, ניתן לפתור באמצעות טכניקה המקלה על החישובים. כתוצאה מכך, זה לא ייחשב כאן.
המשוואה היא הטרינום הריבועי המושלם
אם אחד משוואה שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר הוא טרינום מרובע מושלם, ואז תוכלו לזהות את המקדמים שלו כ:
a = 1, b = 2k אוֹ - 2k ו c = k2. כדי לבדוק זאת, פשוט השווה משוואה ריבועית עם a טרינוםכיכרמושלם.לכן, בפתרון של משוואה שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר איקס2 + 2kx + k2 = 0, תמיד תהיה לנו אפשרות לעשות:
איקס2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
לפיכך, הפתרון הוא ייחודי ושווה ל- k.
אם משוואה להיות x2 - 2kx + k2 = 0, אנחנו יכולים לעשות את אותו הדבר:
איקס2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
לכן הפיתרון הוא ייחודי ושווה ל- k.
דוגמא: מה הם השורשים של משוואה איקס2 + 16x + 64 = 0?
שימו לב שהמשוואה היא א טרינוםכיכרמושלם, שכן 2k = 16, כאשר k = 8 ו- k2 = 64, כאשר k = 8. כדי שנוכל לכתוב:
איקס2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
כאן התוצאה פשטה, שכן אנו כבר יודעים ששני הפתרונות יהיו שווים לאותו מספר ממשי.
המשוואה אינה טרינום מרובע מושלם
במקרים בהם משוואה שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר אינו תלת ממדי מרובע, אנו יכולים לשקול את ההשערה הבאה כדי לחשב את תוצאותיה:
איקס2 + 2kx + C = 0
שים לב שכדי שמשוואה זו תהפוך ל- טרינוםכיכרמושלם, פשוט החליפו את הערך של C עם הערך של k2. מכיוון שזו משוואה, הדרך היחידה לעשות זאת היא להוסיף k2 בשני החברים ואז החלפת מקדם החבר C. שעון:
איקס2 + 2kx + C = 0
איקס2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
איקס2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
לאחר הליך זה, נוכל להמשיך בטכניקה הקודמת, ולהפוך את ה- טרינוםכיכרמושלם למוצר יוצא דופן וחישוב השורשים הריבועיים בשני הגפיים.
איקס2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
הסימן ± מופיע בכל פעם שהתוצאה של a משוואה הוא שורש ריבועי, מכיוון שבמקרים אלה תוצאת השורש הריבועית היא a מודול, כפי שמוצג בדוגמה הראשונה. לבסוף, כל שנותר הוא לעשות:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
אז, אלה משוואות יש שתי תוצאות אמיתי ומובחנת, או ללא תוצאה אמיתית כאשר C> k2.
לדוגמה, חישב את שורשי ה- x2 + 6x + 8 = 0.
פִּתָרוֹן: שים לב כי 6 = 2 · 3x. מכאן, k = 3 ולכן k2 = 9. לכן המספר שעלינו להוסיף בשני החברים שווה ל- 9:
איקס2 + 6x + 8 = 0
איקס2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
איקס2 + 6x + 9 = 9 - 8
איקס2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
במקרה זה המקדם a ≠ 1
כאשר המקדם ה, נותן משוואה שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר, שונה מ- 1, רק חלקו את כל המשוואה בערך המספרי של המקדם ה ואז להחיל אחת משתי השיטות הקודמות.
אז, במשוואה 2x2 + 32x + 128 = 0, יש לנו את השורש הייחודי השווה ל- 8, כי:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
איקס2 + 16x + 64 = 0
ובמשוואה 3x2 + 18x + 24 = 0, יש לנו את השורשים - 2 ו- - 4, כי:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
איקס2 + 6x + 8 = 0
מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm