מְשׁוּשֶׁה זה ה מְצוּלָע שיש לו 6 צדדים. זה קבוע כאשר כל הצדדים והזוויות הפנימיות תואמות זו את זו. זה לא סדיר כאשר אין לו את המאפיינים האלה. המקרה הראשון הוא הנחקר ביותר, מכיוון שכאשר המשושה רגיל, יש לו תכונות ונוסחאות ספציפיות המאפשרות לנו לחשב את השטח, ההיקף והאפותם שלו.
קראו גם: מהו לוזנגל?
תקציר על משושה
משושה הוא מצולע בעל 6 צדדים.
זה קבוע כאשר כל הצדדים חופפים.
זה לא סדיר כאשר כל הצדדים אינם חופפים.
במשושה רגיל, כל זווית פנימית מודדת 120 מעלות.
הסכום של זוויות הקצוות החיצוניים של משושה רגיל הם תמיד 360°.
כדי לחשב את השטח של משושה רגיל, אנו משתמשים בנוסחה:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O היקף של משושה הוא סכום צלעותיו. כאשר זה רגיל, יש לנו:
P = 6L
התפיסה של משושה רגילה מחושבת על ידי הנוסחה:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי המודעה ;)
מהו משושה?
משושה הוא כל מצולע ש יש 6 צלעות, ומכאן 6 קודקודים ו-6 זוויות. מכיוון שמדובר במצולע, מדובר בדמות שטוחה סגורה עם צלעות שאינן מצטלבות. המשושה הוא צורה חוזרת בטבע, כמו חלות דבש, במבנים של כימיה אורגנית, בקונכיות של צבים מסוימים ובפתיתי שלג.
שיעור וידאו על מצולעים
אלמנטים משושה
משושה מורכב מ-6 צלעות, 6 קודקודים ו-6 זוויות פנימיות.
קודקודים: נקודות A, B, C, D, E, F.
צדדים: הקטעים \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
זוויות פנימיות: זוויות a, b, c, d, f.
סיווג של משושים
משושים, כמו מצולעים אחרים, ניתן לסווג בשתי דרכים.
משושה רגיל
המשושה רגיל כאשר יש לו כל צדדיו התואמים - כתוצאה מכך, גם הזוויות שלהם יהיו תואמות. המשושה הרגיל הוא החשוב מכולם, בהיותו הנחקר ביותר. אפשר לחשב כמה מהיבטים שלו, כמו השטח, עם נוסחאות ספציפיות.
תַצְפִּית: ניתן לחלק את המשושה הרגיל ל-6 משולשים שווי צלעות, כלומר, משולשים שכל הצלעות שוות.
→ משושה לא סדיר
משושה לא סדיר הוא כזה שיש לו צדדים עם אמצעים שונים. זה יכול להיות קמור או לא קמור.
משושה לא סדיר קמור
המשושה הוא קָמוּר כשיש לך את כל זוויות פנימיות של פחות מ-180°.
→ משושה לא סדיר לא קמור
משושה אינו קמור כאשר יש לו זוויות פנימיות גדולות מ-180°.
תכונות משושה
→ מספר אלכסונים במשושה
המאפיין החשוב הראשון הוא זה במשושה קמור, תמיד יש 9 אלכסונים. אנחנו יכולים למצוא את 9 האלכסונים האלה בצורה גיאומטרית:
אנו יכולים גם למצוא את האלכסונים באופן אלגברי, באמצעות הנוסחה הבאה:
\(d=\frac{n\left (n-3\right)}{2}\)
אם נחליף 6 במשוואה, יש לנו:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
אז למשושה קמור תמיד יהיו 9 אלכסונים.
יודע יותר: אלכסון בלוקים מלבני - קטע המחבר שניים מהקודקודים שלו שאינם על אותו פנים
→ זוויות פנימיות של משושה
במשושה, ה סכום הזוויות הפנימיות שלו הוא 720°. כדי לבצע סכום זה, פשוט החליפו 6 בנוסחה:
\(S_i=180\left (n-2\right)\)
\(S_i=180\left (6-2\right)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
במשושה רגיל, הזוויות הפנימיות תמיד יהיו 120 מעלות כל אחת, כי
720°: 6 = 120°
→ זוויות חיצוניות של משושה רגיל
באשר לזוויות החיצוניות, אנו יודעים כי הסכום שלהם תמיד שווה ל-360°. מכיוון שיש 6 זוויות חיצוניות, כל אחת מהן תמדד 60°, כמו
360°: 6 = 60°
→ משפט משושה רגיל
אפוטם של מצולע רגיל נחשבקטע קו חיבור מרכז המצולע ל- נקודת אמצע בצד שלך. כידוע, המשושה הרגיל מורכב מ-6 משולשים שווי צלעות, כך שהאפוטם מתאים לגובה של אחד מהמשולשים שווי הצלעות הללו. ניתן לחשב את הערך של קטע זה על ידי הנוסחה:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ היקף המשושה
כדי לחשב את ההיקף של משושה, פשוט בצע את ה סכום 6 הצדדים שלו. כאשר המשושה רגיל, צלעותיו חופפות, כך שניתן לחשב את היקף המשושה באמצעות הנוסחה:
P = 6L
→ אזור משושה רגיל
מכיוון שאנו יודעים שהמשושה הרגיל מורכב מ-6 משולשים שווי צלעות עם צלעות בגודל L, ניתן לגזור נוסחה לחישוב שטחו באמצעות חישוב ה- שטח של אחד משולש שווה שוקיים כפול 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
שימו לב שאפשר פישוט מחלקים ב-2, יצירת הנוסחה לחישוב שטח המשושה:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
משושה רשום במעגל
אנו אומרים שמצולע רשום ב-a הֶקֵף כשהוא נמצא בתוך המעגל, והקודקודים שלו הם נקודות של זה. אנחנו יכולים לייצג את המשושה הרגיל החרוט במעגל. כאשר אנו עושים ייצוג זה, ניתן לוודא שאורך רדיוס המעגל שווה לאורך הצלע של המשושה.
גם יודע: מעגל והיקף - מה ההבדל?
משושה מוקף במעגל
אנו אומרים שמצולע מוקף במעגל כאשר ה ההיקף נמצא בתוך המצולע הזה. אנחנו יכולים לייצג את המשושה הרגיל המוקף. במקרה זה, המעגל משיק לנקודת האמצע של כל צד של המשושה, מה שהופך את רדיוס המעגל לשווה לאפוטם המשושה.
פריזמה מבוססת משושה
ה גיאומטריית מישור מהווה בסיס למחקרים של גיאומטריה מרחבית. O משושה עשוי להיות קיים בבסיס של מוצקים גיאומטריים, כמו בפריזמות.
כדי למצוא את הנפח של א פּרִיזמָה, אנו מחשבים את המכפלה של שטח הבסיס והגובה. מכיוון שהבסיס שלו הוא משושה, שלה כרך ניתן לחשב על ידי:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
קראו גם: נפח של מוצקים גיאומטריים - איך לחשב?
פירמידת בסיס משושה
בנוסף למנסרה המשושה, יש גם את פירמידות בסיס משושה.
לגלות את נפח של פירמידה של בסיס משושה, אנו מחשבים את המכפלה של שטח הבסיס, הגובה ומחלקים ב-3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
שימו לב שאנחנו מכפילים ומחלקים בשלוש, מה שמאפשר א פישוט. אז, הנפח של פירמידה מבוססת משושה מחושב על ידי הנוסחה:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
פתרו תרגילים על משושה
שאלה 1
אדמה מעוצבת כמו משושה רגילה. אתה רוצה להקיף את האזור הזה עם תיל דוקרני, כך שהחוט יסתובב את השטח 3 פעמים. בידיעה שבסך הכל הוצאו 810 מטרים של תיל לגדר את כל האדמה, שטח המשושה הזה מודד, בערך:
(להשתמש \(\sqrt3=1.7\))
א) 5102 מ"ר
ב) 5164 מ"ר
ג) 5200 מ"ר
ד) 5225 מ"ר
E) 6329 מ"ר
פתרון הבעיה:
חלופה ב'
היקף המשושה הרגיל הוא
\(P=6L\)
מכיוון שבוצעו 3 הקפות, הושקעו סך של 270 מטרים להשלמת הקפה בודדת, כידוע:
810: 3 = 270
אז יש לנו:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ מטר\)
לדעת את אורך הצלע, נחשב את השטח:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163.75m^2\)
עיגול, נקבל:
\(A\approx5164m^2\)
שאלה 2
(PUC - RS) עבור גיר מכני, אתה רוצה לעשות חלק עם צורת משושה רגילה. המרחק בין הצדדים המקבילים הוא 1 ס"מ, כפי שמוצג באיור למטה. הצד של משושה זה בגודל ______ ס"מ.
ה) \(\frac{1}{2}\)
ב) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
Ç) \(\sqrt3\)
ד) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
ה) 1
פתרון הבעיה:
חלופה ב'
לגבי המשושה הרגיל, אנו יודעים כי המילה שלו היא המידה מהמרכז לנקודת האמצע של אחת הצלעות. לפיכך, האפוטם הוא חצי מהמרחק המצוין בתמונה. אז, אנחנו צריכים:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
אז האפוטם שווה ל \(\frac{1}{2}\). יש קשר בין הצדדים של המשושה לאפוטם, מכיוון שבמשושה רגיל יש לנו:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
מכיוון שאנו יודעים את ערכו של האפוטם, אנו יכולים להחליף \(a=\frac{1}{2}\) במשוואה:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
רציונליזציה של השבר:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
