התחום, הטווח והטווח הם קבוצות מספריות הקשורות בפונקציות מתמטיות. אלה הופכים ערכים באמצעות חוקי ההיווצרות שלהם ומעבירים אותם מקבוצת פלט, התחום, לקבוצת הגעה, הטווח.
מקבוצת התחום מגיעים הערכים שיעברו טרנספורמציה על ידי נוסחת הפונקציה, או חוק היווצרות. לאחר מכן, הערכים הללו מגיעים ל-codomain.
תת-הקבוצה שנוצרת על ידי האלמנטים שמגיעים ל-codomain נקראת ה-image set.
בדרך זו, תחום, טווח וטווח הם קבוצות לא ריקות ויכולים להיות סופיים או אינסופיים.
במחקר של פונקציות, יש צורך לציין אילו אלמנטים או מה ההיקף של קבוצות אלה. לדוגמה: קבוצה של מספרים טבעיים או קבוצה של מספרים ממשיים.
בהינתן תחום A שבו כל אלמנט x ששייך לו הופך על ידי הפונקציה לאלמנט y ששייך לטווח B, כל אלמנט y נקרא תמונה של x.
כדי לייעד את התחום והטווח של פונקציה, נעשה שימוש בסימון:
(קראנו F מ-A עד B)
חוקי טרנספורמציה אלו הם ביטויים הכוללים פעולות וערכים מספריים.
דוגמא
פונקציה f: A→B המוגדרת על ידי חוק היווצרות f(x) = 2x, כאשר התחום שלה הוא קבוצת A={1, 2, 3} והטווח B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, יכול להיות מיוצג על ידי הערכים בטבלה וה- דיאגרמות:
|
תְחוּם איקס |
f(x) = 2x |
תמונה ו |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
ארגון תוצאות הטבלה בדיאגרמות:
תְחוּם
תחום D של פונקציה f הוא ערכת הפלט, המורכבת מהאלמנטים x שהוחלו על הפונקציה.
מבחינה גיאומטרית, במישור קרטזיאני, מרכיבי התחום יוצרים את ציר ה-x של האבשיסה.
בסימון התחום מיוצג על ידי האות שלפני החץ.
לכל אלמנט x בדומיין יש לפחות תמונה אחת y ב-codomain.
קוד תחום
תחום התקליטור הוא ערכת ההגעה. בסימון מיוצג בצד ימין של החץ.
תמונה
Image Im הוא תת-קבוצה של הטווח, שנוצר על ידי האלמנטים y שיוצאים מהפונקציה ומגיעים לטווח, שיכול להיות בעל אותו מספר אלמנטים, או מספר קטן יותר.
באופן זה קבוצת התמונות של פונקציה f כלולה ב-codomain.
מבחינה גיאומטרית, במישור קרטזיאני מרכיבי סט התמונות יוצרים את ציר ה-y של האורדינאטות.
מקובל לומר ש-y הוא הערך שמקבלת הפונקציה f(x) ובדרך זו אנו כותבים:
ייתכן שאותו אלמנט y הוא תמונה של יותר מאלמנט x אחד בתחום.
דוגמא
בתפקוד מוגדר בחוק
, עבור ערכי x סימטריים של התחום, יש לנו תמונת y אחת.
ללמוד עוד על פונקציות.
תרגילי דומיין, דומיין ותמונה
תרגיל 1
בהינתן קבוצות A = {8, 12, 13, 20, 23} ו-B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, קבע: תחום, טווח וטווח של פונקציות.
א) f: A → B מוגדר על ידי f (x) = 2x + 1
ב) f: A → B מוגדר על ידי f (x) = 3x - 14
א) f: A → B מוגדר על ידי f (x) = 2x + 1
דומיין A = {8, 12, 13, 20, 23}
דומיין B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
תמונה Im (f) ={17,25,27,41,47}
| ד(ו) | f(x)=2x+1 | אני (ו) |
|---|---|---|
| 8 | f (8)=2.8+1 | 17 |
| 12 | f (12)=2.12+1 | 25 |
| 13 | f (13)=2.13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2.20+1 | 41 |
| 23 | f (23)=2.23+1 | 47 |
ב) f: A → B מוגדר על ידי f (x) = 3x - 14
דומיין A = {8, 12, 13, 20, 23}
דומיין B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
תמונה אני (ו) ={}
| ד(ו) | f(x) = 3x - 14 | אני (ו) |
|---|---|---|
8 |
f (8)=3.8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12)=3.12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13)=3.13 - 14 | 25 |
| 20 | f (20)=3.20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23)=3.23 - 14 | 55 |
תרגיל 2
קבע את תחום הפונקציות המוגדרות על ידי:
הדומיין הוא קבוצת הערכים האפשריים ש-x יכול לקחת.
א) אנחנו יודעים שלא ניתן לחלק באפס 0, ולכן המכנה חייב להיות שונה מאפס.
אנו קוראים: x שייך לריאליים כך ש-x שונה מ-2.
ב) אין שורש ריבועי של מספר שלילי. לכן, הרדיקנד חייב להיות גדול או שווה לאפס.
אנו קוראים: x שייך לריאליים כך ש-x גדול או שווה ל-5.
תרגיל 3
נתון הפונקציה עם תחום בקבוצת המספרים השלמים מהי סט התמונות של f(x)?
קבוצת ה-Z של המספרים השלמים מאפשרת הן מספרים שליליים וחיוביים כאשר שני מספרים עוקבים נמצאים במרחק של יחידה אחת.
בדרך זו, הפונקציה מקבלת ערכים חיוביים ושליליים. עם זאת, מכיוון ש-x בריבוע, כל ערך, אפילו שלילי, יחזיר ערך חיובי.
דוגמא
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
בדרך זו, יהיו רק מספרים טבעיים בתמונה.
אולי יעניין אותך:
- פונקציית הזרקה
- פונקציה ניתוחית
- פונקציית Bijection
- פונקציה הפוכה
- פונקציה מורכבת
יישומים וסקרנות
לפונקציות יש יישום בחקר כל תופעה שבה פרמטר אחד תלוי באחר. כמו, למשל, המהירות של רהיט לאורך זמן, ההשפעות של תרופה עם מאפיינים של חומציות בקיבה, הטמפרטורה של הדוד עם כמות הדלק.
הפונקציות קיימות בתופעות אמיתיות, ולכן יש להן יישום בכל המחקרים המדעיים וההנדסיים.
חקר הפונקציות אינו עדכני, כמה רישומים בעתיקות בטבלאות בבליות מראים שהן כבר היו חלק מהמתמטיקה. במהלך השנים, הסימון, האופן שבו הם כתובים, קיבל תרומות מכמה מתמטיקאים והשתפר, עד שאנו משתמשים בהם היום.
