פונקציית שורש היא הפונקציה שיש לה לפחות משתנה אחד בתוך רדיקל. זה נקרא גם פונקציה לא רציונלית, שהנפוץ שבהם הוא שורש ריבועי, אולם ישנם אחרים, כגון פונקציית שורש הקובייה, בין מדדים אפשריים אחרים.
כדי למצוא את התחום של פונקציית שורש, חשוב לנתח את האינדקס. כאשר האינדקס זוגי, הרדיקנד חייב להיות חיובי לפי תנאי קיום השורש. הטווח של פונקציית השורש הוא מַעֲרֶכֶת של המספרים האמיתיים. אפשר גם להכין ייצוג גרפי של פונקציה מָקוֹר.
יודע יותר:דומיין, דומיין משותף ותמונה - מה כל אחד מהם מייצג?
סיכום פונקציית השורש
ה כיבוש שורש הוא זה שיש לו משתנה בתוך הרדיקל.
-
כדי למצוא את התחום של פונקציית השורש, יש צורך לנתח את האינדקס של הרדיקל.
אם מדד השורש הוא זוגי, ברדיקנד יהיו רק ערכים ריאליים חיוביים.
אם אינדקס השורש הוא אי זוגי, התחום הוא המספרים האמיתיים.
פונקציית השורש הריבועי היא הנפוצה ביותר מבין פונקציות השורש.
לפונקציית השורש הריבועי גרף הולך וגדל וחיובי.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי המודעה ;)
מהי פונקציית השורש?
אנחנו מסווגים כל פונקציה שיש לו משתנה בתוך הרדיקל כפונקציית שורש. באופן אנלוגי, אנו יכולים לראות כפונקציית שורש את זו שיש לה משתנה שהועלה למעריך השווה ל-a
שבריר משלהם, שהם שברים שהמונה שלהם קטן מהמכנה, כי בכל פעם שנדרש נוכל להפוך רדיקל ל- פּוֹטֵנצִיָה עם מעריך שבר.דוגמאות לפונקציית שורש:
כיצד לחשב את פונקציית השורש
לדעת את חוק היווצרות פונקציית שורש, יש לחשב את הערך המספרי של הפונקציה. כמו בכל הפונקציות שלמדנו, אנו מחשבים את הערך המספרי של הפונקציה על ידי החלפת המשתנה בערך הרצוי.
דוגמה כיצד לחשב את פונקציית השורש:
בהינתן הפונקציה f(x) = 1 + √x, מצא את הערך של:
א) ו (4)
החלפת x = 4, יש לנו:
f (4) = 1 + √4
f(4) = 1 + 2
f(4) = 5
פונקציות אלו ידועות כאי-רציונליות. על ידי העובדה שרוב התמונות שלך הן מספרים לא רציונליים. לדוגמה, אם נחשב את f(2), f(3) עבור אותה פונקציה:
ב) f (2) = 1 + √2
ג) f (3) = 1 + √3
אנו משאירים את זה מיוצג בצורה זו, בתור א חיבור בין 1 למספר האי-רציונלי. עם זאת, בעת הצורך, אנו יכולים להשתמש בקירוב עבור אלה שורשים לא מדויקים.
ראה גם: פונקציה הפוכה - סוג הפונקציה שעושה את ההפוך המדויק של הפונקציה f(x)
תחום וטווח של פונקציית שורש
כאשר אנו לומדים פונקציית שורש, חיוני לנתח כל מקרה לגופו, כך שניתן יהיה להגדיר היטב ה שֶׁלְךָ תְחוּם. התחום תלוי ישירות באינדקס השורש ובמה שנמצא ברדיקנד שלו. הטווח של פונקציית שורש הוא תמיד ה- קבוצה של מספרים ממשיים.
הנה כמה דוגמאות:
דוגמה 1:
החל מפונקציית השורש הנפוצה והפשוטה ביותר, הפונקציה הבאה:
f(x) = √x
בניתוח ההקשר, יצוין כי מאחר שזו פונקציה ריבועית והטווח הוא קבוצת המספרים הממשיים, אין שורש שלילי בקבוצה כאשר האינדקס זוגי. לָכֵן, התחום של הפונקציה הוא קבוצת המספרים הממשיים החיוביים, זה:
D = R+
דוגמה 2:
מכיוון שיש שורש ריבועי, כדי שהפונקציה הזו תתקיים בקבוצת המספרים הממשיים, או השתרשות חייב להיות גדול או שווה לאפס. אז, אנו מחשבים:
x – 4 ≥ 0
x ≥ 4
אז התחום של הפונקציה הוא:
D = {x ∈ R | x ≥ 4}
דוגמה 3:
בפונקציה זו אין הגבלה, מכיוון שהאינדקס של השורש הוא אי זוגי, כך שהרדיקנד יכול להיות שלילי. לפיכך, התחום של פונקציה זו יהיה המספרים הממשיים:
D = R
גישה גם: השתרשות - הפעולה המספרית הפוכה לעוצמה
גרף של פונקציית שורש
בשורש הריבועי של פונקציית x, הגרף תמיד חיובי. במילים אחרות, הטווח של הפונקציה הוא תמיד מספר אמיתי חיובי, הערכים ש-x יכולים לקבל הם תמיד חיוביים, והגרף תמיד גדל.
דוגמה לפונקציית שורש ריבועי:
בואו נסתכל על ייצוג הגרף של פונקציית השורש הריבועי של x.
דוגמה לפונקציית שורש קובייה:
כעת, נצייר גרף של פונקציה עם אינדקס אי זוגי. אפשר לייצג פונקציות שורש אחרות, כמו פונקציות מעוקבות. לאחר מכן, בואו נסתכל על הייצוג של פונקציית שורש הקובייה של x. שימו לב שבמקרה זה, מכיוון שלשורש יש אינדקס אי זוגי, x יכול להודות בערכים שליליים, והתמונה יכולה להיות גם שלילית.
קראו גם:איך בונים גרף של פונקציה?
תרגילים שנפתרו בתפקוד שורש
שאלה 1
בהינתן פונקציית השורש הבאה, עם תחום בקבוצת המספרים הממשיים החיוביים וטווח בקבוצת המספרים הממשיים, מה חייב להיות הערך של x כך ש-f(x) = 13?
א) 3
ב) 4
ג) 5
ד) 6
ה) 7
פתרון הבעיה:
חלופה C
מכיוון שהתחום של הפונקציה הוא קבוצת המספרים הממשיים החיוביים, הערך שהופך את f(x) לשווה ל-13 הוא x = 5.
שאלה 2
לגבי הפונקציה f(x), שפוט את ההצהרות הבאות.
I → התחום של פונקציה זו הוא קבוצת המספרים הממשיים הגדולים מ-5.
II → בפונקציה זו, f(1) = 2.
III → בפונקציה זו, f( – 4) = 3.
סמן את החלופה הנכונה:
א) ההצהרה היחידה אני שקרית.
ב) רק משפט II הוא שקר.
ג) רק משפט III הוא שקרי.
ד) כל ההצהרות נכונות.
פתרון הבעיה:
חלופה א'
אני → לא נכון
אנחנו יודעים ש-5 – x > 0, אז יש לנו:
– x > – 5 ( – 1)
x < 5
לכן התחום הוא מספרים ממשיים פחות מ-5.
II → נכון
בחישוב f(1), יש לנו:
III → נכון
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
