נפח מוצקים גיאומטריים: נוסחאות ודוגמאות

O נפח של מוצק גיאומטרי הוא גודל המייצג את החלל שתופס המוצק הגיאומטרי הזה. מדידות הנפח הנפוצות ביותר הן יחידות מעוקבות, כגון מטר מעוקב m³, הכפולות שלהן ותתי-הכפולות שלהן. המוצקים הגיאומטריים העיקריים הם מנסרות, פירמידות, חרוט, גליל וכדור, ולכל אחד מהם יש נוסחאות ספציפיות לחישוב נפח.

קראו גם: מה ההבדלים בין דמויות שטוחות ומרחביות?

סיכום על נפח מוצקים גיאומטריים

• לכל מוצק גיאומטרי יש נוסחה שונה לחישוב הנפח שלו.

• נפחו של מוצק נמדד ביחידות מעוקבות, כגון מטר מעוקב, סנטימטר מעוקב וכן הלאה.

• נוסחה לחישוב נפח המנסרה:

V = A_ב · ח

• נוסחה לחישוב נפח הפירמידה:

• נוסחה לחישוב נפח גליל:

V = πr² · h

• נוסחה לחישוב נפח של חרוט:

• נוסחה לחישוב נפח הכדור:

מדידות נפח

אנו קוראים לנפח המרחב שנתון מוצק גיאומטרי לכבוש, בקרוב, זה רק הגיוני לחשב את הנפח של עצמים תלת מימדיים. כדי למדוד את הנפח, אנו משתמשים כיחידת מידה ב- מטר מעוקב (מ³) וכפולותיו, כלומר:

• דקמטר מעוקב (סכר³)

• הקטמטר מעוקב (hm³)

• קילומטר מעוקב (ק"מ³)

יש גם את תת-כפולות של מטר מעוקב, כלומר:

• דצימטר מעוקב (dm³)

• סנטימטר מעוקב (ס"מ³)

• מילימטר מעוקב (mm³)

ראה גם: מהן מידות האורך?

כיצד לחשב את נפח המוצקים הגיאומטריים?

מציאת נפח של מוצק גיאומטרי הוא יסוד עבור פעילויות יומיומיות רבות, עבור לדוגמה, לדעת את הקיבולת של סככה, לדעת את החלל שתופס רהיט מסוים אצלנו בַּיִת.אנו מחשבים את הנפח באמצעות נוסחאות ספציפיות עבור כל אחד מהמוצקים הגיאומטריים. כעת נסתכל על נוסחאות הנפח עבור המוצקים הגיאומטריים העיקריים ב גיאומטריה מרחבית.

• נפח פריזמה

מתחיל עם פּרִיזמָה, אחד המוצקים הנפוצים ביותר בחיי היומיום. המנסרה כולה מוצקה גיאומטרית יש לו שני בסיסים שווים ופנים צד שנוצרו על ידי מקבילים, למשל, קופסאות נעליים, מבנים, בין שאר חפצים.

כדי לחשב את נפח המנסרה, יש צורך לדעת את שטח הבסיס, אשר יכול להיווצר על ידי כל מצולע. O נפח פריזמה מחושב לפי מכפלת שטח הבסיס וגובה המנסרה.

V_מנסרות = א_ב · ח

ה_ב → שטח בסיס
h → גובה המנסרה

ישנם שני מקרים מיוחדים של פריזמות חוזרות מאוד, כלומר הקובייה והמקבילית המלבני.

→ נפח קובייה

החל מהקובייה, אנחנו יודעים שהיא יש כל הקצוות חופפים. אז, כדי לחשב את נפח הקובייה, אנו יודעים ששטח ה כיכר שווה לריבוע הקצה. כדי לחשב את הנפח, נכפיל בגובה, שבמקרה של הקוביה שווה גם למדידת הקצה. לפיכך, נפח הקובייה ניתן על ידי:

→ נפח מלבן מקבילי

הנפח של מַרצֶפֶת ניתן למצוא את המלבן כאשר נכפיל את שלושת הממדים שלו:

דוגמה 1:

חשב את נפחה של מנסרה בצורת קובייה, שכל אחת מהקצוות שלה היא 5 ס"מ:

V = a³

V = 5³

V = 125 ס"מ³

דוגמה 2:

חשב את נפח המנסרה להלן:

כמו הבסיס שלך הוא א מַלבֵּן, שטח הבסיס הוא המוצר שבין 12 ל-5. כדי למצוא את הנפח, נכפיל את שטח הבסיס בגובה, לכן עלינו:

V = A_ב · ח

V = 12 · 5 · 15

V = 60 · 15

V = 900 ס"מ³

→ שיעור וידאו על נפח פריזמה

• נפח הפירמידה

ה פִּירָמִידָה הוא המוצק הגיאומטרי ש יש את הבסיס שנוצר על ידי מצולע ו פני הצד שנוצרו על ידי א משולש, מחבר את קודקודי הבסיס לנקודה מחוץ לבסיס המכונה קודקוד הפירמידה. כמו המנסרה, גם לפירמידה יכולים להיות בסיסים שונים.

פירמידות בסיס משושה ומרובע בהתאמה.

כדי לחשב את נפח פירמידה, יש צורך לחשב את שטח הבסיס. נפח הפירמידה ניתן על ידי הנוסחה:

דוגמא:

חשב את נפח הפירמידה שבסיסה מרובע עם צלעות בגודל 6 מטר וגובה של 10 מטר.

מכיוון שבסיס הפירמידה הוא ריבוע, שטחו יהיה הצלע בריבוע, ולכן עלינו:

קראו גם: גזע פירמידה - דמות המתקבלת מחתך בפירמידה

• נפח צילינדר

O צִילִינדֶר הוא המוצק הגיאומטרי ש בעל שני בסיסים עגולים באותו רדיוס. מדורג אחד גוף עגול בשל צורתו המעוגלת, מוצק גיאומטרי זה די חוזר באריזות כמו שוקולד ומוצרים אחרים.

כדי לחשב את נפח של צילינדר, אנחנו צריכים רק את המדידה של הרדיוס שלו והגובה שלו:

דוגמא:

חשב את נפח הגליל הבא (השתמש ב-π = 3.1):

V = πr² h

V = 3.1 · 3² · 8

V = 3.1 · 9 · 8

V = 3.1 · 72

V = 223.2 ס"מ³

→ שיעור וידאו על נפח צילינדר

• נפח קונוס

O קוֹנוּס הוא מסווג גם כגוף עגול. הוא יש בסיס שנוצר על ידי מעגל וקודקוד. כדי לחשב את נפח קונוס, יש צורך גם לדעת את גובהו ואת רדיוס הבסיס שלו:

דוגמא:

חשב את נפח החרוט:

• נפח כדור

ה כַּדוּר זהו גם פורמט נפוץ בחיי היומיום, כמו הכדורים שבהם אנו משתמשים כדי לשחק ענפי ספורט מסוימים, בנוסף להיותו פורמט נפוץ בטבע. כדי לחשב את נפח הכדור, יש צורך רק לדעת את הרדיוס שלו.:

דוגמא:

חשב את נפח הכדור שרדיוס שווה ל-2 מטר (השתמש ב-π = 3.1):

ראה גם: מהם המרכיבים של כדור?

פתרו תרגילים על נפח מוצקים גיאומטריים

שאלה 1 - (Fei) מקורת עץ עם חתך מרובע של צד L = 10 ס"מ, שולפים טריז בגובה h = 15 ס"מ, כפי שמוצג באיור. נפח הטריז הוא:

א) 250 ס"מ³

ב) 500 ס"מ³

ג) 750 ס"מ³

ד) 1000 ס"מ³

ה) 1250 ס"מ³

פתרון הבעיה

חלופה C

מכיוון שהבסיס הוא משולש, אנו יודעים ש:

כעת נחשב את נפח המנסרה:

V = A_ב · ח

V = 75 · 10

V = 750 ס"מ³

שאלה 2 - (FGV) הנפח של כדור ברדיוס r ניתן על ידי V = 4/3 π r³. למאגר בצורת כדור יש נפח של 36 π מטר מעוקב. תנו ל-A ו-B להיות שתי נקודות על פני השטח הכדוריים של המאגר ו-m להיות המרחק ביניהן. הערך המרבי של m במטרים הוא:

א) 5.5

ב) 5

ג) 6

ד) 4.5

דואר 4

פתרון הבעיה

חלופה C

המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות בכדור הוא הקוטר של אותו כדור. מכיוון שאנו יודעים את נפח הכדור, אז ניתן לחשב את הרדיוס שלו:

מכיוון שהמרחק הגדול ביותר האפשרי שווה לקוטר, כלומר, הוא מודד פי שניים מהרדיוס, אז d = 6.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-de-solidos-geometricos.htm