יחסי טריגונומטרי: סינוס, קוסינוס וטנגנס הם יחסים בין צלעות משולש ישר זווית. באמצעות יחסים אלו ניתן לקבוע ערכים לא ידועים של זוויות ומדידות צד.
תרגל את הידע שלך עם הבעיות שנפתרו.
שאלות על סינוס
שאלה 1
להיות הזווית שווה ל-30° והתחתון 47 מ', חשב את מדידת הגובה ה של המשולש.
יחס הסינוס הטריגונומטרי הוא המנה בין המידות של הצלע הנגדי של הזווית, לבין התחתון.
מבודד ה מצד אחד של השוויון, יש לנו:
מטבלה טריגונומטרית, יש לנו שסינוס של 30° שווה ל , מחליף במשוואה:
לכן, גובה המשולש הוא 23.50 מ'.
שאלה 2
הנוף העליון של פארק מציג שני שבילים להגיע לנקודה C מנקודה A. אחת האפשרויות היא ללכת ל-B, שם יש מזרקות שתייה ומקומות מנוחה, ואז ל-C. אם מבקר בפארק רוצה ללכת ישר ל-C, כמה מטרים הוא ילך פחות מהאפשרות הראשונה?
שקול קירובים:
חטא 58° = 0.85
cos 58° = 0.53
שיזוף 58° = 1.60
תשובה: יוצאים מ-A ויוצאים ישר ל-C ההליכה קצרה ב-7.54 מ'.
שלב 1: חישוב מרחק.
שלב 2: קבע את המרחק.
שלב 3: קבע את המרחק .
שלב 4: קבע את ההבדל בין שני הנתיבים.
שאלה 3
הותקן רכבל המחבר בין בסיס לראש ההר. לצורך ההתקנה נעשה שימוש ב-1358 מ' של כבלים המסודרים בזווית של 30° ביחס לקרקע. כמה גבוה ההר?
תשובה נכונה: גובה ההר הוא 679 מ'.
אנו יכולים להשתמש ביחס הטריגונומטרי של הסינוס כדי לקבוע את גובה ההר.
מטבלה טריגונומטרית, יש לנו חטא 30° = 0.5. מכיוון שהסינוס הוא היחס בין הצלע הנגדית לבין התחתון, אנו קובעים את הגובה.
שאלה 4
(CBM-SC, soldier-2010) לסייע לאדם בדירה בזמן שריפה, כבאים ישתמש בסולם של 30 מ', שיוצב כפי שמוצג באיור למטה, ויוצר זווית עם הקרקע של ה-60. כמה רחוקה הדירה מהרצפה? (השתמש ב-sen60º=0.87; cos60º=0.5 ו-tg60º= 1.73)
א) 15 מ'.
ב) 26.1 מ'.
ג) 34.48 מ'.
ד) 51.9 מ'.
תשובה נכונה: ב) 26.1 מ'.
כדי לקבוע את הגובה, נשתמש בסינוס 60°. קורא לגובה h ושימוש ב-60° סינוס שווה ל-0.87.
שאלות על קוסינוס
שאלה 5
קוסינוס הוא היחס בין הצלע הסמוכה לזווית ובין מדידת התחתון. להיות שווה ל-45°, חשב את המידה של הרגל הסמוכה לזווית אלפא, במשולש האיור.
לשקול
קירוב לערך השורש הריבועי של 2:
מידת הרגל הסמוכה היא כ-19.74 מ'.
שאלה 6
במהלך משחק כדורגל, שחקן 1 זורק לשחקן 2 בזווית של 48°. כמה רחוק הכדור צריך לעבור כדי להגיע לשחקן 2?
לשקול:
חטא 48° = 0.74
cos 48° = 0.66
שיזוף 48° = 1.11
תשובה נכונה: הכדור חייב לעבור מרחק של 54.54 מ'.
המדידה בין שחקן 1 לשחקן 2 היא התחתון של המשולש הימני.
הקוסינוס של זווית 48° הוא היחס בין הצלע הסמוכה לה לבין ההיפוטנוזה, כאשר הצלע הסמוכה היא המרחק בין מרכז השדה לאזור הגדול.
52.5 - 16.5 = 36 מ'
חישוב הקוסינוס, כאשר h הוא היפוטנוזה.
שאלה 7
גג נחשב לגמלון כשיש שני שיפועים. בעבודה אחת נבנה גג שמפגש שני מימיו נמצא בדיוק באמצע הלוח. זווית הנטייה של כל מים ביחס ללוח היא 30°. אורך הלוח 24 מ'. כדי להזמין את הרעפים עוד לפני השלמת המבנה שיתמוך בגג, יש צורך לדעת את אורך כל מים, שיהיו:
מכיוון שהלוח הוא באורך 24 מ', כל מים יהיו 12 מ'.
אם קוראים לאורך של כל מי גג L, יש לנו:
רציונליזציה של השבר כדי לקבל את המספר האי-רציונלי של המכנה.
הֲכָנָה,
לפיכך, אורך כל מי גג יהיה כ-13.6 מ'.
שאלה 8
טנג'נט הוא היחס בין הצלע המנוגדת לזווית, לבין הצלע הסמוכה לה. להיות הזווית שווה ל-60°, חשב את גובה המשולש.
שאלות נוגעות
שאלה 9
אדם רוצה לדעת את רוחבו של נהר לפני שחוצה אותו. לשם כך, הוא מגדיר נקודת ייחוס בקצה השני, כמו עץ למשל (נקודה C). בעמדה בה אתם נמצאים (נקודה B), צעדו 10 מטר שמאלה, עד שנוצרת זווית של 30° בין נקודה A לנקודה C. חשב את רוחב הנהר.
לשקול .
כדי לחשב את רוחב הנהר שנקרא לו L, נשתמש בטנגנס של הזווית .
שאלה 10
(אנם 2020) פרגולדו הוא השם שניתן לסוג גג שתוכנן על ידי אדריכלים, נפוץ בריבועים וב
גינות, ליצור סביבה לאנשים או צמחים, שבה יש ירידה בכמות האור,
תלוי במיקום השמש. הוא עשוי כמשטח של קורות שוות, ממוקם במקביל ומושלם
בשורה, כפי שמוצג באיור.
אדריכל מתכנן פרגולה עם מרווחים של 30 ס"מ בין קורותיה, כך שב
היפוך הקיץ, מסלול השמש במהלך היום מתבצע במישור המאונך לכיוון
קורות, וכי השמש של אחר הצהריים, כאשר קרניה הופכות 30° עם מיקום הסיכה, מייצרות חצי
של האור שעובר בפרגולה בצהריים.
כדי לעמוד בהצעת הפרויקט שהכין האדריכל, על קורות הפרגולה להיות
בנוי כך שהגובה, בסנטימטרים, קרוב ככל האפשר ל
א) 9.
ב) 15.
ג) 26.
ד) 52.
ה) 60.
תשובה נכונה: ג) 26.
כדי להבין את המצב, בואו נעשה מתווה.
התמונה משמאל מציגה את שכיחות אור השמש בצהריים, עם 100%. התמונה משמאל היא מה שמעניין אותנו. הוא מאפשר רק ל-50% מקרני השמש לעבור דרך הפרגולה בשיפוע של 30%.
אנו משתמשים ביחס טריגונומטרי משיק. הטנגנס של זווית הוא היחס בין הצלע הנגדית לצלע הסמוכה.
אם קוראים לגובה של חתיכת הפרגולה ח, יש לנו:
יצירת טנגנס של 30° =
בוא נעשה רציונליזציה של השבר האחרון כדי שלא נשאיר את השורש של שלוש, מספר אי-רציונלי, במכנה.
הֲכָנָה,
מבין האפשרויות הקיימות לשאלה, הקרובה ביותר היא האות c, גובה הקורות חייב להיות כ-26 ס"מ.
שאלה 11
(אנם 2010) בלון אטמוספרי, ששוגר בבאורו (343 קילומטרים צפונית-מערבית לסאו פאולו), בלילה ביום ראשון האחרון, זה נפל ביום שני הקרוב ב-Cuiabá Paulista, באזור Presidente Prudente, מפחיד
חקלאים באזור. החפץ הוא חלק מתוכנית פרויקט היביסקוס, שפותחה על ידי ברזיל, צרפת,
ארגנטינה, אנגליה ואיטליה, כדי למדוד את התנהגות שכבת האוזון, וירידתה התרחשה
לאחר עמידה בזמן המדידה הצפוי.
בתאריך האירוע שני אנשים ראו את הבלון. אחד מהם היה 1.8 ק"מ מהמיקום האנכי של הבלון
וראה אותו בזווית של 60 מעלות; השני היה 5.5 ק"מ מהמיקום האנכי של הבלון, מיושר עם
תחילה, ובאותו כיוון, כפי שרואים באיור, וראו אותו בזווית של 30 מעלות.
מהו הגובה המשוער של הבלון?
א) 1.8 ק"מ
ב) 1.9 ק"מ
ג) 3.1 ק"מ
ד) 3.7 ק"מ
ה) 5.5 ק"מ
תשובה נכונה: ג) 3.1 ק"מ
אנו משתמשים בטנגנס 60° שהוא שווה . הטנגנס הוא היחס הטריגונומטרי בין הצלע הנגדי של הזווית לסמוך לה.
לכן, גובה הבלון היה כ-3.1 ק"מ.
