א משוואת פולינום מאופיין בכך שיש א פולינום שווה לאפס. ניתן לאפיין אותו בדרגת הפולינום, וככל שדרגה זו גדולה יותר, כך גדלה דרגת הקושי למצוא את הפתרון או השורש שלו.
חשוב גם, בהקשר זה, להבין מהו המשפט היסודי של האלגברה, הקובע זאת לכל משוואה פולינומית יש לפחות פתרון מורכב אחד, במילים אחרות: למשוואה של מדרגה 1 תהיה לפחות פתרון אחד, למשוואה של מדרגה שתיים יהיו לפחות שני פתרונות, וכן הלאה.
קרא גם: מהן המחלקות של פולינומים?
מהי משוואה פולינומית
משוואת פולינום מאופיינת בכך שיש פולינום השווה לאפס, לפיכך, כל ביטוי מסוג P(x) = 0 הוא משוואה פולינומית, כאשר P(x) הוא פולינום. להלן המקרה הכללי של משוואת פולינום וכמה דוגמאות.
קחו בחשבון אתלא, אn -1, א n -2, …, ה1, א0 ו-x מספרים אמיתיים, ו-n הוא מספר שלם חיובי, הביטוי הבא הוא משוואה פולינומית של תואר n.
- דוגמא
המשוואות הבאות הן פולינומים.
א) פי 34 + פי 42 – 1 = 0
ב) 5x2 – 3 = 0
ג) 6x – 1 = 0
ד) 7x3 - איקס2 + 4x + 3 = 0
כמו פולינומים, למשוואות פולינומיות יש דרגות. כדי לקבוע את המידה של משוואת פולינום, פשוט מצא את החזקה הגבוהה ביותר שהמקדם שלה שונה מאפס. לכן, המשוואות של הפריטים הקודמים הן, בהתאמה:
א) המשוואה היא מ תואר רביעי:3איקס4+ פי 42 – 1 = 0.
ב) המשוואה היא מ בית ספר תיכון:5איקס2 – 3 = 0.
ג) המשוואה היא מ תואר ראשון:6איקס – 1 = 0.
ד) המשוואה היא של דרגה שלישית: 7איקס3- איקס2 + 4x + 3 = 0.
איך פותרים משוואת פולינום?
שיטת פתרון משוואה פולינומית תלויה בדרגתה. ככל שמידת המשוואה גדולה יותר, כך קשה יותר לפתור אותה. במאמר זה, נציג את שיטת הפתרון של משוואות פולינומיות של תואר ראשון, תואר שני ובי-מרובע.
משוואת פולינום מדרגה ראשונה
משוואה פולינומית מהמעלה הראשונה מתוארת על ידי א פולינום מדרגה 1. אז אנחנו יכולים לכתוב משוואה מהמעלה הראשונה, באופן כללי, כדלקמן.
שקול שני מספרים ממשיים ה ו ב עם ≠ 0, הביטוי הבא הוא משוואה פולינומית מהמעלה הראשונה:
ax + b = 0
כדי לפתור את המשוואה הזו, עלינו להשתמש ב- עקרון השקילות, כלומר, כל מה שמופעל בצד אחד של השוויון חייב להיות מופעל גם בצד השני. כדי לקבוע את הפתרון של משוואה ממעלה ראשונה, עלינו לבודד את הלא נודע. בשביל זה, הצעד הראשון הוא לחסל את ב בצד שמאל של השוויון, ולאחר מכן להחסירמשוטים ב משני הצדדים של השוויון.
ax + b - ב = 0 - ב
ax = - ב
שימו לב שהערך של ה-x הלא ידוע אינו מבודד, יש לבטל את מקדם a מהצד השמאלי של השוויון, ולשם כך נחלק את שני הצדדים ב- ה.
- דוגמא
פתרו את המשוואה 5x + 25 = 0.
כדי לפתור את הבעיה, עלינו להשתמש בעקרון השקילות. על מנת להקל על התהליך נשמיט את כתיבת הפעולה בצד שמאל של השוויון, בהיותו שווה אז לומר שאנחנו הולכים "להעביר" את המספר לצד השני, תוך שינוי הסימן (פעולה הפוכה).
למד עוד על פתרון משוואה מסוג זה על ידי גישה לטקסט שלנו: משוואת מדרגה ראשונה עם לא ידוע.
משוואת פולינום של המעלה השנייה
למשוואה פולינומית מהמעלה השנייה יש את המאפיין של a פולינום תואר שני. אז קחו בחשבון את a, b ו-c מספרים ממשיים עם a ≠ 0. משוואת מדרגה שנייה ניתנת על ידי:
גַרזֶן2 + bx + c = 0
ניתן לקבוע את הפתרון שלך באמצעות השיטה של בהסקרה או באמצעות פקטורינג. אם אתה רוצה לדעת יותר על משוואות מסוג זה, קרא: משוואהפעולה של סשְׁנִיָה זrau.
→ שיטת בהסקרה
בשיטת בהסקרה, שורשיו ניתנים על ידי הנוסחה הבאה:
- דוגמא
מצא את הפתרון של המשוואה x2 – 3x + 2 = 0.
שימו לב שהמקדמים של המשוואה הם, בהתאמה, a = 1, b = – 3 ו-c = 2. החלפת ערכים אלה בנוסחה, עלינו:
→ פרוק לגורמים
ראה שאפשר לפקח את הביטוי x2 – 3x + 2 = 0 באמצעות הרעיון של פירוק פולינום.
איקס2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
שימו לב עכשיו שיש לנו מכפלה שווה לאפס, ומכפלה שווה לאפס רק אם אחד מהגורמים שווה לאפס, אז עלינו:
x – 2 = 0
x = 2
אוֹ
x - 1 = 0
x = 1
ראה שמצאנו את הפתרון למשוואה בשתי שיטות שונות.
משוואה דו ריבועית
ה משוואת בי-מרובע זה מקרה מיוחד של משוואת פולינום מהמעלה הרביעית, בדרך כלל משוואה מדרגה רביעית תיכתב בצורה:
גַרזֶן4 + bx3 + קופסה2 + dx + e = 0
איפה המספרים א ב ג ד ו ו הם אמיתיים עם ≠ 0. משוואת מדרגה רביעית נחשבת בי-מרובעת כאשר המקדמים b = d = 0, כלומר, המשוואה היא בצורה:
גַרזֶן4 + קופסה2 + ו-=0
ראה, בדוגמה למטה, כיצד לפתור את המשוואה הזו.
- דוגמא
פתור את משוואת x4 - פי 102 + 9 = 0.
כדי לפתור את המשוואה, נשתמש בשינוי הלא ידוע הבא, ובכל פעם שהמשוואה היא מרובעת, נבצע את השינוי הזה.
איקס2 =p
מתוך המשוואה הדו-ריבועית, שימו לב ש-x4 = (x2)2 ולכן עלינו:
איקס4 - פי 102 + 9 = 0
(איקס2)2 – 10איקס2 + 9 = 0
ל2 – 10p + 9 = 0
ראה שיש לנו כעת משוואה פולינומית מהמעלה השנייה ונוכל להשתמש בשיטת Bhaskara, כך:
עם זאת, עלינו לזכור שבתחילת התרגיל נעשה שינוי לא ידוע ולכן עלינו ליישם את הערך שנמצא בהחלפה.
איקס2 =p
עבור p = 9 יש לנו את זה:
איקס2 = 9
x' = 3
אוֹ
x'' = – 3
עבור p = 1
איקס2 = 1
x' = 1
אוֹ
x'' = – 1
לכן, קבוצת הפתרונות של משוואת הבי-מרובע היא:
S = {3, –3, 1, –1}
קראו גם: המכשיר המעשי של בריוט-רופיני – חלוקת פולינומים
משפט היסוד של האלגברה (TFA)
משפט היסוד של האלגברה (TFA), שהוכח על ידי גאוס ב-1799, קובע שלכל משוואה פולינומית כדלקמן יש לפחות שורש מורכב אחד.
השורש של משוואה פולינומית הוא הפתרון שלה, כלומר, הערך הלא ידוע הוא מה שהופך את השוויון לנכון. לדוגמה, למשוואה מדרגה ראשונה יש שורש שכבר נקבע, וכך גם למשוואה מדרגה שנייה, שיש לה לפחות שני שורשים, ובי-מרובע, שיש לה לפחות ארבעה שורשים.
תרגילים שנפתרו
שאלה 1 – קבע את הערך של x שהופך את השוויון לנכון.
2x – 8 = 3x + 7
פתרון הבעיה
שימו לב שכדי לפתור את המשוואה, יש צורך לארגן אותה, כלומר להשאיר את כל הלא ידועים בצד שמאל של השוויון.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
לפי עקרון השקילות, נוכל להכפיל את שני הצדדים של השוויון באותו מספר, ומכיוון שאנו רוצים למצוא את הערך של x, נכפיל את שני הצדדים ב-1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
שאלה 2 - למרקוס יש 20 דולר ארה"ב יותר מג'ואאו. ביחד, הם מצליחים לקנות שני זוגות נעלי ספורט, בעלות של 80 דולר ארה"ב כל זוג וללא כסף. כמה ריאל יש לג'ון?
פתרון הבעיה
נניח שלמרק יש x reais, כפי שלג'ון יש 20 reais יותר, כך יש לו x + 20.
סימנים → x אמיתיים
João → (x + 20) reais
איך הם קנו שני זוגות נעלי ספורט שעלותם 80 ריאל כל אחד, כך שאם נחבר את החלקים של כל אחד, נצטרך:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
לכן, למארק היו 70 ריאל ולז'ואאו 90 ריאל.
מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
