מכפילים ומחלקים: מה הם ותכונות

המושגים של מכפילים ו מְחוּגָה של מספר טבעי להאריך את מערך מספרים שלמים. כאשר אנו עוסקים בנושא הכפולות והמחלקים, אנו מתייחסים אליו סטים מספריים שעומדים בתנאים מסוימים. מכפילים נמצאים לאחר הכפל במספרים שלמים, ומחלקים הם מספרים המתחלקים במספר מסוים.

בגלל זה, אנו נמצא קבוצות משנה של המספרים השלמים, שכן האלמנטים של קבוצות הכפולות והמחלקים הם אלמנטים של קבוצת המספרים השלמים. כדי להבין מהם מספרים ראשוניים, יש צורך להבין את מושג המחלקים.

המושגים של מכפילים ומחלקים נגזרים מפעולות.

מכפילים של מספר

לִהיוֹת ה ו ב שני מספרים שלמים ידועים, המספר ה הוא מרובה של ב אם ורק אם יש מספר שלם k כך ש ה = ב · K. לפיכך, ה סט כפולות ב המתקבל על ידי הכפלתהלכל המספרים השלמים, התוצאות של אלה כפלות הם הכפולות של ה.

לדוגמה, בואו לרשום את 12 הכפולות הראשונות של 2. לשם כך עלינו להכפיל את המספר 2 ב -12 המספרים השלמים הראשונים, כך:

2 · 1 = 2

2 · 2 = 4

2 · 3 = 6

2 · 4 = 8

2 · 5 = 10

2 · 6 = 12

2 · 7 = 14

2 · 8 = 16

2 · 9 = 18

2 · 10 = 20

2 · 11 = 22

2 · 12 = 24

לכן, מכפילים של 2 הם:

M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}

שימו לב שרשמנו רק את 12 המספרים הראשונים, אך היינו יכולים לרשום כמה שצריך, שכן רשימת הכפולות ניתנת על ידי הכפלת מספר בכל המספרים השלמים. לכן,

מערך הכפולות הוא אינסופי.

כדי לבדוק האם מספר הוא מכפלה של מספר אחר, עלינו למצוא מספר שלם כך שהכפל ביניהם יביא למספר הראשון. ראה את הדוגמאות:

→ המספר 49 הוא מכפלה של 7, מכיוון שיש מספר שלם שמכפיל את 7 מביא 49.

49 = 7 · 7

→ המספר 324 הוא מכפיל של 3, שכן יש מספר שלם שמכפילים אותו 3 מביא ל- 324.

324 = 3 · 108

→ המספר 523 לא הוא מכפיל של 2 כי אין מספר שלם אשר כפול 2 מביא 523.

523 = 2 · ?

קרא גם: מאפייני כפל המאפשרים חישוב נפש

כפולות של 4

כפי שראינו, כדי לקבוע את הכפולות של המספר 4, עלינו להכפיל את המספר 4 במספרים שלמים. לכן:

4 · 1 = 4

4 · 2 = 8

4 · 3 = 12

4 · 4 = 16

4 · 5 = 20

4 · 6 = 24

4 · 7 = 28

4 · 8 = 32

4 · 9 = 36

4 · 10 = 40

4 · 11 = 44

4 · 12 = 48

...

לכן, מכפילים של 4 הם:

M (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }

כפולות של 5

באופן אנלוגי, יש לנו מכפילים של 5.

5 · 1 = 5

5 · 2 = 5

5 · 3 = 15

5 · 4 = 20

5 · 5 = 25

5 · 6 = 30

5 · 7 = 35

...

לפיכך, הכפולות של 5 הן: M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...}

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

מחיצות מספר אחד

לִהיוֹת ה ו ב שני מספרים שלמים ידועים, נניח ב הוא מחלק של ה אם המספר ב הוא מרובה של ה, זה ה חֲלוּקָה בין לבין ב ו ה הוא מדויק (חייב לעזוב מנוחה 0).

ראה כמה דוגמאות:

→ 22 הוא מכפל של 2, ולכן 2 הוא מחלק של 22.

→ 63 הוא מכפיל של 3, ולכן 3 הוא מחלק של 63.

→ 121 אינו מכפיל של 10, ולכן 10 אינו מחלק של 121.

כדי לרשום את מחיצות המספר, עלינו לחפש את המספרים המחלקים אותו. תראה:

- רשום את המחיצות של 2, 3 ו- 20.

D (2) = {1, 2}

D (3) = {1,3}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

שים לב שמספרים ברשימת המחלקים מתחלקים תמיד לפי המספר המדובר וזה הערך הגבוה ביותר שמופיע ברשימה זו הוא המספר עצמו., מכיוון שאף מספר גדול ממנו לא ניתן לחלוקה על ידו.

לדוגמא, במחלקים של 30, הערך הגדול ביותר ברשימה זו הוא 30 עצמו, מכיוון שאף מספר גדול מ- 30 לא ניתן לחלוקה על ידו. לכן:

D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

יודע יותר: עובדות מהנות על חלוקת מספרים טבעיים

בעלות על מכפילים ומחלקים

מאפיינים אלה קשורים ל- חֲלוּקָה בין שני מספרים שלמים. שימו לב שכאשר מספר שלם הוא מכפלה של אחר, הוא גם מתחלק במספר אחר זה.

שקול את אלגוריתם חלוקה כדי שנוכל להבין טוב יותר את המאפיינים.

N = d · q + r, כאשר q ו- r הם מספרים שלמים.

זכור את זה נ נקרא של דיבידנד;ד, לחוצץ;ש, למרווח; ו אגב.

→ נכס 1: ההבדל בין הדיבידנד לשארית (N - r) הוא מכפיל של המחלק, או שהמספר d הוא מחלק של (N - r).

→ נכס 2: (N - r + d) הוא מכפיל של d, כלומר המספר d הוא מחלק של (N - r + d).

ראה את הדוגמה:

- כאשר אנו מבצעים את החלוקה של 525 על 8, אנו מקבלים את המנה q = 65 ואת שארית r = 5. לפיכך, יש לנו את הדיבידנד N = 525 ואת המחלק d = 8. ראה כי המאפיינים מרוצים מכיוון ש (525 - 5 + 8) = 528 מתחלק ב 8 ו:

528 = 8 · 66

מספרים ראשוניים

אתה מספרים ראשוניים הם אלה ש יש כמחלק ברישום שלהם רק את המספר 1 ואת המספר עצמו. כדי לבדוק אם מספר הוא ראשוני או לא, אחת השיטות הטריוויאליות ביותר היא לרשום את המחלקים של המספר הזה. אם מספרים העולים על 1 והמספר המדובר מופיע, הוא אינו ראשוני.

→ בדוק מהם המספרים הראשוניים בין 2 ל -20. לשם כך, בואו רשימה את המחלקים של כל המספרים הללו בין 2 ל -20.

D (2) = {1, 2}

D (3) = {1,3}

D (4) = {1, 2, 4}

D (5) = {1, 5}

D (6) = {1, 2, 3, 6}

D (7) = {1, 7}

D (8) = {1, 2, 4, 8}

D (9) = {1, 3, 9}

D (10) = {1, 2, 5, 10}

D (11) = {1, 11}

D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D (13) = {1, 13}

D (14) = {1, 2, 7, 14}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

D (16) = {1, 2, 4, 16}

D (17) = {1, 17}

D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D (19) = {1, 19}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

אז המספרים הראשוניים בין 2 ל -20 הם:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ו -19}

שים לב שהסט הוא מהראשונים הראשונים, רשימה זו נמשכת. שים לב שככל שהמספר גדול יותר, קשה יותר לדעת אם הוא ראשוני או לא.

קרא עוד: מספרים לא רציונליים: אלה שלא ניתן לייצג בשברים

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - (UMC-SP) מספר האלמנטים בקבוצת המחלקים הראשיים של 60 הוא:

א) 3

ב) 4

ג) 5

ד) 10

פִּתָרוֹן

חלופה א

ראשית נפרט את המחלקים של 60 ואז נבחן אילו הם ראשוניים.

D (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

מבין המספרים האלה יש לנו את הראשונים:

{2, 3, 5}

לכן מספר המחלקים הראשיים של 60 הוא 3.

שאלה 2 - כתוב את כל המספרים הטבעיים פחות מ 100 ומכפילים של 15.

פִּתָרוֹן

אנו יודעים שהמכפילים של 15 הם התוצאות של הכפלת המספר 15 בכל המספרים השלמים. מכיוון שהתרגיל מבקש לכתוב את המספרים הטבעיים הנמוכים מ 100 ואשר הם מכפילים של 15, עלינו הכפל 15 במספרים הגדולים מאפס, עד שנמצא את הכפול הגדול ביותר לפני 100, לכן:

15 · 1 = 15

15 · 2 = 30

15 · 3 = 45

15 · 4 = 60

15 · 5 = 75

15 · 6 = 90

15 · 7 = 105

לכן, מספרים טבעיים פחות מ 100 ומכפילים של 15 הם:

{15, 30, 45, 60, 75, 90}

שאלה 3 - מה המכפיל הגדול ביותר של 5 בין 100 ל 1001?

פִּתָרוֹן

כדי לקבוע את המכפיל הגדול ביותר של 5 בין 100 ל- 1001, פשוט זהה את המכפיל הראשון של 5 אחורה לפנים.

1001 אינו מכפיל של 5, מכיוון שאין מספר שלם שמכפיל את 5 מביא ל- 1001.

1000 הוא מכפל של 5, שכן 1000 = 5 · 200.

לכן, המכפיל הגדול ביותר של 5, בין 100 ל 1001, הוא 1000.

מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה