קחו קשת של ההיקף הטריגונומטרי המודד 45 °, הקשת הכפולה שלה היא קשת 90 °, אך זה לא פירושו שערך הפונקציות הטריגונומטריות (סינוס, קוסינוס ומשיק) של הקשת הכפולה כפול מזה של הקשת, על ידי דוגמא:
אם הקשת שווה 30 °, הקשת הכפולה שלך תהיה 60 °. חטא 30 ° = 1/2, חטא 60 ° = √3 / 2, אז אנו מבינים שלמרות ש- 60 ° כפול 30 °, חטא 60 ° אינו חטא כפול 30 °. אנו יכולים ליישם את אותה סיטואציה עם כמה קשתות ופונקציות טריגונומטריות אחרות, אולם נגיע לאותה מסקנה.
באופן כללי, שקול כל קשת מידה β, הקשת הכפולה שלה תהיה 2β, לכן, חטא β ≠ חטא 2β, כלומר חטא 2β ≠ 2. חטא β.
לפיכך, כדי למצוא את הערך של הפונקציות הטריגונומטריות של קשת כפולה (sin 2β, cos 2β ו- tg 2β) נצטרך לעקוב אחר כמה קשרים, בין arc β לבין arc הכפול 2β שלו.
מערכות יחסים אלה ייווצרו באמצעות פונקציות טריגונומטריות של תוספת קשת. תראה איך:
• Cos 2β
על פי תוספת של קשתות, cos 2β שווה ל:
cos 2β = cos (β + β) = cos β. cos β - sin β. חטא β
הצטרפות למונחים דומים שיהיו לנו:
cos 2β = cos (β + β) = cos2 β - חטא2 β
לכן, החישוב של cos 2β ייעשה באמצעות הנוסחה הבאה:
cos 2β = cos2 β - חטא2 β
• סן 2β
על פי תוספת הקשתות, החטא 2β שווה ל:
Sen 2β = sin (β + β) = sin β. cos β + sin β. cos β
הצבת מונחים דומים לראיות שיהיו לנו:
Sen 2β = sin (β + β) = 2. חטא β. cos β
לכן, חישוב החטא 2β ייעשה באמצעות הנוסחה הבאה:
Sen 2β = 2. חטא β. cos β
• tg 2β
על פי תוספת של קשתות, tg 2β שווה ל:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 - tg x. tg β
הצטרפות למונחים דומים שיהיו לנו:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ
1 - tg2β
לכן, חישוב tg 2β ייעשה באמצעות הנוסחה הבאה:
tg 2β = 2 tgβ
1 - tg2β
מאת דניאל דה מירנדה
בוגר מתמטיקה
צוות בית הספר בברזיל
טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה - מתמטיקה - בית ספר ברזיל
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-arco-duplo.htm