התקדמות חשבון (P.A.)

ה התקדמות חשבון (P.A.) הוא רצף של מספרים שההפרש בין שני מונחים רצופים הוא תמיד זהה. הבדל קבוע זה נקרא P.A.

לפיכך, מהאלמנט השני של הרצף ואילך, המספרים המופיעים הם תוצאה של סכום הקבוע עם ערך האלמנט הקודם.

זה מה שמבדיל אותו מההתקדמות הגיאומטרית (PG), מכיוון שבכך המספרים מוכפלים ביחס, ואילו בהתקדמות החשבון הם מתווספים.

התקדמות חשבון יכולה להיות בעלת מספר קבוע של מונחים (P.A. סופית) או מספר אינסופי של מונחים (P.A. אינסופי).

כדי לציין כי רצף ממשיך ללא הגבלת זמן אנו משתמשים באליפסות, למשל:

• הרצף (4, 7, 10, 13, 16, ...) הוא P.A. אינסופי
• הרצף (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) הוא P.A. סופי

כל מונח של P.A. מזוהה על ידי המיקום שהוא תופס ברצף וכדי לייצג כל מונח אנו משתמשים באות (בדרך כלל האות ה) ואחריו מספר המציין את מיקומו ברצף.

למשל, המונח ה₄ ב- P.A (2, 4, 6, 8, 10) הוא המספר 8, שכן זהו המספר שתופס את המיקום הרביעי ברצף.

סיווג P.A.

על פי ערך היחס, התקדמות חשבון מסווגת ל:

• קָבוּעַ: כאשר היחס שווה לאפס. לדוגמא: (4, 4, 4, 4, 4 ...), כאשר r = 0.
• גָדֵל: כאשר היחס גדול מאפס. לדוגמא: (2, 4, 6, 8,10 ...), כאשר r = 2.
• יורד: כאשר היחס הוא פחות מאפס (15, 10, 5, 0, - 5, ...), כאשר r = - 5

נכסי P.A.

נכס ראשון:

ב- P.A. סופי, סכום שני המונחים המרוחקים מהקיצוניות שווה לסכום הקיצוניות.

דוגמא

נכס שני:

בהתחשב בשלושה מונחים רצופים של תואר ראשון, המונח האמצעי יהיה שווה לממוצע החשבוני של שני המונחים האחרים.

דוגמא

נכס שלישי:

ב- P.A סופי עם מספר אי זוגי של מונחים, המונח המרכזי יהיה שווה לממוצע החשבוני בין מונחים השווים ממנו. נכס זה נובע מהראשון.

נוסחת המונח הכללי

איפה,

an: מונח שאנחנו רוצים לחשב
a1: הקדנציה הראשונה של P.A.
n: מיקום המונח אותו אנו רוצים לגלות
r: סיבה

הסבר לפורמולה

מכיוון שהיחס בין P.A. הוא קבוע, אנו יכולים לחשב את ערכו מכל מונחים עוקבים, כלומר:

לכן אנו יכולים למצוא את ערך המונח השני של ה- P.A. על ידי ביצוע:

כדי למצוא את המונח השלישי נשתמש באותו חישוב:

החלפת הערך של a₂, שמצאנו קודם, יש לנו:

אם אנו פועלים לפי אותה הנמקה, אנו יכולים למצוא:

בהתבונן בתוצאות שנמצאו, נציין כי כל מונח ישווה לסכום המונח הראשון עם היחס המוכפל במיקום הקודם.

חישוב זה מתבטא באמצעות הנוסחה של המונח הכללי של P.A., המאפשרת לנו לדעת כל יסוד של התקדמות חשבון.

דוגמא

חשב את המונח העשירי של הת"א: (26, 31, 36, 41, ...)

פִּתָרוֹן

ראשית, עלינו לזהות זאת:

ה₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (קדנציה 10).

החלפת ערכים אלה בנוסחה של המונח הכללי, יש לנו:

ה_לא = ה₁ + (n - 1). ר
ה₁₀ = 26 + (10-1). 5
ה₁₀ = 26 + 9 .5
ה₁₀ = 71

לכן המונח העשירי של התקדמות החשבון המצוינת שווה ל -71.

נוסחת מונח כללי מכל מונח k

לעתים קרובות, כדי להגדיר כל מונח כללי, שאנו מכנים אותו, אין לנו את המונח הראשון a1, אך אנו מכירים כל מונח אחר, אותו אנו מכנים ak.

אנו יכולים להשתמש בנוסחת המונח הכללי מכל מונח k:

שים לב שההבדל היחיד היה השינוי מאינדקס 1 בנוסחה הראשונה ל- k בשנייה.

להיות,

an: המונח ה- n של ה- P.A. (מונח בכל מיקום n)
ak: המונח הח 'של תואר ראשון (מונח בכל מיקום k)
r: הסיבה

סכום התנאים של ת.ד.

כדי למצוא את סכום המונחים של P.A סופי, פשוט השתמש בנוסחה:

איפה,

ס_לא: סכום n המונחים הראשונים של P.A.
ה₁: קדנציה ראשונה של פ.א.
ה_לא: תופס את המיקום התשיעי ברצף (מונח במיקום n)
לא: מיקום מונח

קרא גם על PA ו- PG.

תרגיל נפתר

תרגיל 1

PUC / RJ - 2018

בידיעה שהמספרים ברצף (y, 7, z, 15) נמצאים בהתקדמות חשבון, מה שווה הסכום y + z?

א) 20
ב) 14
ג) 7
ד) 3.5
ה) 2

ראה תשובה

כדי למצוא את הערך של z, נוכל להשתמש במאפיין שאומר שכשיש לנו שלושה מונחים רצופים המונח האמצעי יהיה שווה לממוצע החשבוני של שני האחרים. אז יש לנו:

אם z שווה ל- 11, היחס יהיה שווה ל:

r = 11 - 7 = 4

בדרך זו, y יהיה שווה ל:

y = 7 - 4 = 3

לָכֵן:

y + z = 3 + 11 = 14

חלופה: ב) 14

תרגיל 2

IFRS - 2017

באיור למטה, יש לנו רצף של מלבנים, כולם בגובה a. בסיס המלבן הראשון הוא b והמלבנים הבאים הם ערך הבסיס של הקודם בתוספת יחידת מידה. לפיכך, בסיס המלבן השני הוא b + 1 והשלישי הוא b + 2 וכן הלאה.

שקול את ההצהרות להלן.

I - רצף אזורי המלבן הוא התקדמות חשבון של יחס 1.
II - רצף אזורי המלבן הוא התקדמות חשבון של היחס a.
III - רצף שטחי המלבנים הוא התקדמות גיאומטרית של היחס a.
IV - שטח המלבן התשיעי (A_לא) ניתן להשיג בנוסחה A._לא = א. (b + n - 1).

בדוק את החלופה המכילה את המשפט / ים הנכונים.

שם.
ב) II.
ג) III.
ד) II ו- IV.
ה) III ו- IV.

ראה תשובה

לחישוב שטח המלבנים יש לנו:

A = א. ב
ה₁ = א. (b + 1) = א. b + a
ה₂ = א. (b + 2) = א. ב. + 2
ה₃ = א. (b + 3) = א. b + 3a

מהביטויים שנמצאו, נציין כי הרצף יוצר P.A. ביחס השווה ל- ה. בהמשך לרצף, נמצא את השטח של המלבן התשיעי, הניתן על ידי:

ה_לא= א. b + (n - 1). א
ה_לא = א. b + a. בְּ-

לשים את ה לראיה, יש לנו:

ה_לא = a (b + n - 1)

חלופה: ד) II ו- IV.

תרגיל 3

UERJ

הודו בקיום אליפות כדורגל בה האזהרות שקיבלו הספורטאים מיוצגות על ידי כרטיסים צהובים בלבד. כרטיסים אלה מומרים לקנסות על פי הקריטריונים הבאים:

• שני הקלפים הראשונים שהתקבלו אינם מייצרים קנסות;
• הכרטיס השלישי מייצר קנס בסך R $ 500.00.
• הכרטיסים הבאים מייצרים קנסות שערכם מוגדל תמיד ב- R $ 500.00 ביחס לערך הקנס הקודם.

הטבלה מציגה את הקנסות הקשורים לחמשת הקלפים הראשונים שהוחלו על ספורטאי.

שקול אתלט שקיבל 13 כרטיסים צהובים במהלך האליפות. הסכום הכולל של הקנסות שנוצרו על ידי כל הכרטיסים הללו הוא:

א) 30,000
ב) 33 000
ג) 36 000
ד) 39 000

ראה תשובה

תשובה נכונה: ב) 33 000

מהכרטיס הצהוב השלישי ואילך, סכום הקנס עולה בתמ"ג ביחס של 500.00 $ R. בהתחשב בקדנציה הראשונה, a1, עם ערך הכרטיס השלישי, R $ 500.00.

כדי לקבוע את הסכום הכולל של הקנסות, עלינו להשתמש בנוסחה של סכום התנאים של P.A.

מכיוון שלאתלט יש 13 כרטיסים צהובים, אך השניים הראשונים אינם מייצרים קנסות, אנו נכין עמוד של 13-2 קדנציות, כלומר 11 קדנציות.

לפיכך, יש לנו את הערכים הבאים:

a1 = 500
n = 11
r = 500

כדי למצוא את הערך של המונח התשיעי, a11, אנו משתמשים בנוסחת המונח הכללי.

an = a1 + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

החלת הנוסחה של סכום המונחים של P.A.

לפתור תרגילים נוספים ב:

התקדמות בחשבון - תרגילים

למידע נוסף על ידי קריאה גם:

• רצף מספרי
• התקדמות גיאומטרית
• התקדמות גיאומטרית - תרגילים
• נוסחאות מתמטיקה