פונקציה: מה זה, סוגי פונקציות וגרפיקה

במתמטיקה, פונקציה תואמת אסוציאציה של היסודות של שתי קבוצות, כלומר, הפונקציה מציינת את הקשר בין האלמנטים.

לדוגמא, פונקציה מ- A עד B פירושה לשייך כל אלמנט השייך לקבוצה A ל- a האלמנט היחיד המרכיב את קבוצת B, כך שלא ניתן לקשר בין ערך A לשני ערכים של ב.

סימון פונקציה: f: A → B (קרא: f מ- A עד B).

ייצוג פונקציות

בתפקיד f: A → קבוצה B נקראת תחום (D) וקבוצת B נקראת מנגד (CD).

אלמנט של B הקשור לאלמנט של A נקרא תמונה על ידי הפונקציה. קיבוץ כל התמונות של B יש לנו קבוצת תמונות, שהיא תת קבוצה של הקונטרומיין.

דוגמא: שימו לב לקבוצות A = {1, 2, 3, 4} ו- B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, עם הפונקציה שקובעת את הקשר בין האלמנטים f: A → B הוא x → 2x. לָכֵן, f(x) = 2x וכל x בערכה A הופכים ל -2X בערכה B.

שים לב שקבוצת A {1, 2, 3, 4} הן הקלטים, "הכפל ב -2" היא הפונקציה והערכים של B {2, 4, 6, 8}, הנקשרים לאלמנטים של A, הם ערכי הפלט.

אז לתפקיד זה:

• הדומיין הוא {1, 2, 3, 4}
• התחום הנגדי הוא {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
• ערכת התמונות היא {2, 4, 6, 8}

סוגי פונקציות

תפקידים מסווגים לפי תכונותיהם. בדוק את הסוגים העיקריים להלן.

פונקציית יתר

בְּ

פונקציה משערת תחום הנגד זהה להגדרת התמונה. לכן, כל אלמנט של B הוא דימוי של לפחות אלמנט אחד של A.

סימון: f: A → B, מתרחש ב- Im (f) = B

דוגמא:

לפונקציה הנ"ל:

• הדומיין הוא {-4, -2, 2, 3}
• התחום הנגדי הוא {12, 4, 6}
• ערכת התמונות היא {12, 4, 6}

פונקציית מזרק

בְּ פונקציית הזרקה לכל האלמנטים של A יש מקבילים מובחנים ב- B ואף אחד מהרכיבים של A לא חולק את אותה התמונה ב- B. עם זאת, יתכנו אלמנטים ב- B שאינם קשורים לאלמנט כלשהו ב- A.

דוגמא:

לפונקציה הנ"ל:

• הדומיין הוא {0, 3, 5}
• התחום הנגדי הוא {1, 2, 5, 8}
• ערכת התמונות היא {1, 5, 8}

פונקציית Bijector

בְּ פונקציית bijtora סטים כוללים מספר זהה של אלמנטים קשורים. פונקציה זו מקבלת את השם הזה מכיוון שהוא גם מזריק וגם משער.

דוגמא:

לפונקציה הנ"ל:

• הדומיין הוא {-1, 1, 2, 4}
• התחום הנגדי הוא {2, 3, 5, 7}
• ערכת התמונות היא {2, 3, 5, 7}

פונקציה הפוכה

ה פונקציה הפוכה זהו סוג של פונקציית bijector, ולכן הוא גם מטפל וגם מזריק בו זמנית.

באמצעות פונקציה מסוג זה ניתן ליצור פונקציות חדשות על ידי היפוך האלמנטים.

פונקציה מורכבת

ה פונקציה מורכבת הוא סוג של פונקציה מתמטית המשלבת שני משתנים או יותר.

ניתן לייצג שתי פונקציות, f ו- g כפונקציה המורכבת מ:

ערפל (x) = f (g (x))
gof (x) = g (f (x))

פונקציה מודולרית

ה פונקציה מודולרית משייך אלמנטים למודולים ומספרם תמיד חיובי.

פונקציה קשורה

ה תפקוד affine, המכונה גם פונקציה מדרגה 1, יש קצב צמיחה ומונח קבוע.

f (x) = גרזן + ב

מדרון
ב: מקדם לינארי

פונקציה לינארית

ה פונקציה לינארית הוא מקרה מסוים של פונקציית affine, מוגדרת כ- f (x) = ax.

כאשר ערך המקדם (א) המלווה את x הפונקציה שווה ל- 1, הפונקציה הליניארית היא פונקציית זהות.

פונקציה ריבועית

ה פונקציה ריבועית זה נקרא גם פונקציה מדרגה 2.

f (x) = גרזן²+ bx + c, כאשר a ≠ 0

a, b ו- c: מקדמי הפונקציה הפולינומית של דרגה 2.

פונקציה לוגריתמית

ה פונקציה לוגריתמית של בסיס a מיוצג על ידי f (x) = log_ה x, להיות אמיתי חיובי ו- ≠ 1.

כאשר אנו הופכים את הפונקציה הלוגריתמית, יש לנו פונקציה אקספוננציאלית.

פונקציה מעריכית

ה פונקציה מעריכית מציג משתנה במעריך והבסיס תמיד גדול מאפס ושונה מאחד.

f (x) = א^איקס, כאשר a> 0 ו- ≠ 0

פונקציה פולינומית

ה פונקציה פולינומית מוגדר על ידי ביטויים פולינומיים.

f (x) = א_לא. איקס^לא + ה_{n - 1}. איקס^{n - 1} +... + א₂ . איקס² + ה₁. x + a₀

ה_לא, א_n-1,..., א₂, א₁, א₀: מספרים מסובכים
n: מספר שלם
x: משתנה מורכב

פונקציות טריגונומטריות

בְּ פונקציות טריגונומטריות קשורים לפניות במחזור הטריגונומטרי, כגון:

פונקציית סינוס: f (x) = sin x
פונקציית קוסינוס: f (x) = cos x
פונקצית משיק: f (x) = tg x

גרף של פונקציה

האופן שבו אלמנט y מתייחס לאלמנט x מתבטא באמצעות גרף, שנותן לנו מושג על התנהגות הפונקציה.

כל נקודה בגרף ניתנת על ידי זוג מסודר של x ו- y, כאשר x הוא ערך הקלט ו- y הוא תוצאה של הקשר שהוגדר על ידי הפונקציה, כלומר x → פונקציה → y.

לבניית גרף, כל אלמנט x של הפונקציה חייב להיות ממוקם על הציר האופקי (abscissa) ואת אלמנטים y ממוקמים על הציר האנכי (ordinate).

בדוק כמה דוגמאות לגרפים של פונקציות.

השתמש ברשימות התרגיל הבאות כדי לבדוק את הידע שלך בפונקציות.

• תרגילים על תפקוד affine (תואר ראשון)
• תרגילים על פונקציה ריבועית (תואר שני)
• תרגילים על פונקציה מעריכית