מטריצות: תרגילים שהוגשו ופתרו

מטריקס הוא טבלה שנוצרה על ידי מספרים אמיתיים, מסודרת בשורות ועמודות. המספרים המופיעים במטריצה נקראים אלמנטים.

נצל את השאלות לבחינת הכניסה שנפתרו והגיבו כדי לנקות את כל ספקותיך בנוגע לתוכן זה.

סוגיות בחינת הכניסה נפתרו

1) יוניקמפ - 2018

תן ל- a ו- b להיות מספרים ממשיים כך שהמטריצה A = סוגריים פתוחים שורה שורה עם 1 2 שורה עם 0 1 סוף סוגריים סוגריים עונה על משוואה א²= aA + bI, כאשר אני היא מטריצת הזהות של סדר 2. אז המוצר ab שווה ל-

א) −2.
ב) −1.
ג) 1.
ד) 2.

ראה תשובה

כדי לברר את ערך המוצר a.b, ראשית עלינו לדעת את הערך של a ו- b. בואו ניקח בחשבון את המשוואה שניתנה בבעיה.

כדי לפתור את המשוואה, בואו נחשב את הערך של A.², שנעשה על ידי הכפלת מטריצה A בפני עצמה, כלומר:

ריבוע השווה לפתיחת שורות שולחן בסוגריים מרובעים פתוחים עם שורה 1 2 עם 0 1 סוף טבלה סוגר סוגריים מרובעים. סוגריים פתוחים שורה שורה עם 1 2 שורה עם 0 1 סוף סוגריים סוגריים

פעולה זו נעשית על ידי הכפלת שורות המטריצה הראשונה בעמודות המטריצה השנייה, כמוצג להלן:

באופן זה המטריצה א '² זה אותו הדבר כמו:

ריבוע שווה שורת טבלה בסוגריים מרובעים פתוחים עם שורת 1 4 עם 0 1 שולי סוגריים מרובעים צמודים

בהתחשב בערך שזה עתה מצאנו ונזכור שבמטריצת הזהות האלמנטים של האלכסון הראשי שווים ל -1 והשאר האלמנטים שווים ל- 0, המשוואה תהיה:

סוגריים פתוחים שורה שורה עם 1 שורה 4 עם 0 1 סוגריים של סוגריים סוגרים שווים ל- a. סוגריים פתוחים שורה שולחן עם 1 2 שורה עם 0 1 סוף שולחן סוגריים סוגרים יותר ב. סוגריים פתוחים שורה שורה עם 1 0 שורה עם 0 1 סוג של סוגריים סוגרים

כעת עלינו להכפיל את המטריצה A במספר a ואת מטריצת הזהות במספר b.

זכור שכדי להכפיל מספר במערך, אנו מכפילים את המספר בכל רכיב במערך.

לפיכך, השוויון שלנו יהיה שווה ל:

instagram story viewer

סוגריים פתוחים שורה שולחן עם 1 4 שורה עם 0 1 סוף שולחן סוגריים סוגרים שווים שולחן סוגריים פתוחים שורה עם תא עם 2 עד סוף שורת תאים עם 0 סוף טבלה סוגרים מרובעים יותר סוגריים מרובעים פתוחים יותר שורה שורה עם b 0 שורה עם 0 b סוף טבלה סגורה סוֹגְרַיִם

הוספת שתי המטריצות יש לנו:

סוגריים פתוחים שורה שורה עם 1 שורה 4 עם 0 1 סוף שולחן סוגריים סוגרים שווים שולחן סוגריים פתוחים שורה עם תא עם קצה פלוס b של תא תא עם 2 קצה של שורה של תא עם 0 עם קצה של פלוס קצה של סוף תא של טבלה סוֹגְרַיִם

שתי מטריצות שוות כאשר כל האלמנטים המתאימים שווים. בדרך זו נוכל לכתוב את המערכת הבאה:

תכונות טבלאות מקשים פתוחים יישור עמודות תכונות קצה שמאלי שורה עם תא עם פלוס b שווה לקצה 1 של שורה של תא עם תא עם 2 a השווה ל -4 סוף תא סוף שולחן

בידוד ה- a במשוואה השנייה:

2 עד 4 חץ ימינה כפול שווה ל 4 מעל 2 חץ כפול ימינה שווה ל 2

החלפת הערך שנמצא עבור a במשוואה הראשונה, אנו מוצאים את הערך של b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

לפיכך, המוצר יינתן על ידי:

ה. b = - 1. 2
ה. b = - 2

חלופה: א) -2.

2) Unesp - 2016

נקודה P, של קואורדינטות (x, y) של המישור הקרטזיאני האורתוגונאלי, מיוצגת על ידי מטריצת העמודה. סוגריים פתוחים שורה שורה עם x שורה עם y הקצה של סוגריים סוגרים , כמו גם מטריצת העמודות מייצג, במישור הקרטזיאני האורתוגונלי, את נקודת P של הקואורדינטות (x, y). לפיכך, התוצאה של כפל מטריקס שורת טבלה בסוגריים מרובעים פתוחים עם 0 תאים עם מינוס 1 קצה של שורת תאים עם 1 0 סוף טבלה סוגרת סוגריים מרובעים. סוגריים פתוחים שורה שורה עם x שורה עם y הקצה של סוגריים סוגרים היא מטריצת עמוד המייצגת, במישור הקרטזיאני האורתוגונלי, בהכרח נקודה שהיא

א) סיבוב של 180 מעלות של P בכיוון השעון, ובמרכזו ב (0, 0).
סיבוב של P עד 90 מעלות נגד כיוון השעון, עם מרכז ב (0, 0).
ג) סימטרי של P ביחס לציר x האופקי.
ד) סימטרי של P ביחס לציר y האנכי.
סיבוב של P עד 90 מעלות בכיוון השעון, ובמרכזו ב (0, 0).

ראה תשובה

הנקודה P מיוצגת על ידי מטריצה, כך שהאבסיסה (x) מסומנת על ידי היסוד a.₁₁ והסידור (y) לפי אלמנט א₂₁של המטריצה.

כדי למצוא את המיקום החדש של נקודה P, עלינו לפתור את הכפל של המטריצות המוצגות והתוצאה תהיה:

התוצאה מייצגת את הקואורדינטה החדשה של נקודה P, כלומר, האבסיסקה שווה ל- y והסמיכות שווה ל- x.

כדי לזהות את הטרנספורמציה שעברה המיקום של נקודה P, נציג את המצב במישור הקרטזיאני, כמפורט להלן:

לכן נקודה P, שנמצאה בהתחלה ברבע הראשון (אבסיסה חיובית וסדנה), עברה לרבע השני (אבסיסה שלילית וסדנה חיובית).

כשעוברים למצב חדש זה, הנקודה סובבה נגד כיוון השעון, כפי שהיא מיוצגת בתמונה למעלה על ידי החץ האדום.

עלינו עדיין לזהות מה היה ערך זווית הסיבוב.

על ידי חיבור המיקום המקורי של נקודה P למרכז הציר הקרטזיאני ועשינו אותו ביחס למיקומו החדש P ', יש לנו את המצב הבא:

שים לב ששני המשולשים המצוינים באיור הם תואמים, כלומר יש להם אותן מידות. באופן זה גם הזוויות שלהם זהות.

בנוסף, הזוויות α ו- θ משלימות, שכן סכום הזוויות הפנימיות של המשולשים שווה ל -180 מעלות ומכיוון שהמשולש ישר בזווית, סכום שתי הזוויות הללו יהיה שווה ל 90 °.

לכן, זווית הסיבוב של הנקודה, המצוינת באיור על ידי β, יכולה להיות שווה ל 90º בלבד.

חלופה: ב) סיבוב של 90 מעלות של P נגד כיוון השעון, עם מרכז ב (0, 0).

3) יוניקמפ - 2017

מכיוון ש- a הוא מספר ממשי, שקול את המטריצה A = סוגריים פתוחים שורה בטבלה עם שורה אחת עם 0 תא עם מינוס סוף 1 של סוף הטבלה סוגריים סוגרים . אז ה²⁰¹⁷ זה אותו דבר כמו
ה) סוגריים פתוחים בשורה בטבלה עם שורה 1 0 עם סוגריים בסוף 1 בקצה 1
ב) סוגריים פתוחים שורה בטבלה עם שורה אחת עם 0 תא עם מינוס סוף 1 של סוף הטבלה סוגריים סוגרים
ç)
ד)

ראה תשובה

ראשית, בואו ננסה למצוא דפוס לכוחות, מכיוון שזו עבודה רבה להכפיל את המטריצה A בפני עצמה פעמים 2017.

כזכור שבכפל מטריצה, כל אלמנט נמצא על ידי הוספת תוצאות הכפלת האלמנטים בשורה של אחד עם האלמנטים בעמודה של השני.

נתחיל בחישוב A²:

שורת טבלת סוגריים פתוחה עם שורה אחת עם 0 תאים עם מינוס קצה 1 של סוף התא של הטבלה סוגרת שטח סוגריים. רווח פתוח סוגריים טבלה שורה עם שורה אחת עם 0 תא עם מינוס קצה 1 של סוף התא של הטבלה קרוב סוגריים שווים לטבלת סוגריים פתוחים שורה עם תא עם 1.1 בתוספת קצה של תא תא עם רווח שטח 1. הכי א. סוגריים שמאליים מינוס 1 סוגריים ימניים סוף שורת תאים לתא עם 0.1 פלוס 0. סוגריים שמאליים מינוס 1 תא קצה של סוגריים ימניים עם 0. בתוספת סוגריים שמאליים פחות סוגריים ימניים. סוגריים שמאליים מינוס 1 סוגריים ימניים סוף סוף התא של הטבלה סוגר סוגריים שווה לסוגריים פתוחים שורה שורה עם 1 0 שורה עם 0 1 סוג של סוגריים סוגרים

התוצאה הייתה מטריצת הזהות, וכשאנחנו מכפיל מטריצה כלשהי במטריצת הזהות, התוצאה תהיה המטריצה עצמה.

לכן, הערך של א³ יהיה שווה למטריצה A עצמה, כי A³ = א². ה.

תוצאה זו תחזור על עצמה, כלומר כאשר המעריך יהיה אחיד, התוצאה היא מטריצת הזהות וכאשר היא מוזרה, היא תהיה המטריצה A עצמה.

מכיוון שנת 2017 מוזר, אז התוצאה תהיה שווה למטריצה A.

חלופה: ב) סוגריים פתוחים שורה בטבלה עם שורה אחת עם 0 תא עם מינוס סוף 1 של סוף הטבלה סוגריים סוגרים

4) UFSM - 2011

התרשים הנתון מייצג את שרשרת המזון הפשוטה של מערכת אקולוגית נתונה. החצים מציינים את המינים שמין אחר ניזון מהם. ייחוס ערך של 1 כאשר מין אחד ניזון מאחר ואפס, כאשר ההפך מתרחש, יש לנו את הטבלה הבאה:

המטריצה A = (א_ij)_4x4, המשויך לטבלה, יש את חוק ההדרכה הבא:

סוגריים ימניים סוגרים רווח עם i j קצה כתב המשנה שווה למפתחות פתוחים תכונות טבלה יישור עמודה סוף שמאל של תכונות שורה עם תא עם 0 פסיק s שטח ו- i רווח קטן או שווה ל- j סוף שורת התא עם תא עם 1 פסיק s space ו- i שטח גדול מ- j בסוף הקצה של התא סוגר b שטח סוגריים ימני a עם i j קצה של מנוי שווה למפתחות פתוחים טבלת תכונות יישור עמודות סוף שמאל של תכונות שורה עם תא עם רווח של 0 פסיקים ו- space שווה ל- j סוף שורת תאים עם תא עם רווח אחד בפסיק s ו- i רווח לא שווה j סוף הטבלה סוף הטבלה נסגר c רווח בסוגריים ימניים a עם j j סוף המכתב שווה a פותחת טבלת מקשים תכונות יישור העמודה תכונות סוף הקצה השמאלי עם תא עם 0 פסיק רווח ו- i שטח גדול או שווה ל- j סוף שורה של תא עם תא עם 1 פסיק עם רווח ו- i רווח פחות מ- j סוף קצה התא של הטבלה סגור d סוגריים ימניים, רווח עם i j קצה של כתב כתב שווה לתכונות המפתחות הפתוחות של יישור עמודות טבלה בקצה השמאלי של שורה המאפיינים עם תא עם 0 פסיק רווח ו- i רווח לא שווה שווה ל- j סוף קצה התא של הטבלה נסגר וסוגריים ימניים הוא רווח עם i j סוף כתיבה של תווית שווה למפתחות פתוחים תכונות טבלה תכונות יישור עמוד קצה שמאלי של שורת התכונות עם תא עם רווח של 0 פסיק ו- i רווח קטן מ- j סוף שורת התא עם תא עם רווח אחד של פסיק ו- space גדול מ- j סוף קצה של תא שולחן נסגר

ראה תשובה

מכיוון שמספר השורה מצוין על ידי i ומספר העמודה מצוין על ידי j, ומסתכלים בטבלה, אנו מבחינים שכאשר i שווה ל- j, או i גדול מ- j, התוצאה היא אפס.

העמדות שתופסות 1 הן אלה בהן מספר העמודות גדול ממספר השורה.

חלופה: ג) a עם i j סוף הקצה של מנוי שווה למפתחות פתוחים טבלת תכונות יישור עמודה סוף שמאל של תכונות שורה עם תא עם 0 רווח פסיק ו- i רווח גדול או שווה לקצה j של שורת התא עם תא עם רווח אחד של פסיק ו- i שטח קטן מ- j סוף קצה התא של הטבלה נסגר

5) Unesp - 2014

שקול את משוואת המטריצה A + BX = X + 2C, שהמטריצה X אינה ידועה וכל המטריצות בריבוע מסדר n. התנאי ההכרחי והמספיק למשוואה זו לפיתרון יחיד הוא:

א) B - I ≠ O, כאשר אני היא מטריצת הזהות של סדר n ו- O היא המטריצה האפסית של סדר n.
ב) ב 'אינו הפיך.
ג) B ≠ O, כאשר O הוא מטריצת האפס של הסדר n.
ד) B - אני בלתי הפיך, כאשר אני מטריצת הזהות של סדר n.
ה) A ו- C הם בלתי הפיכים.

ראה תשובה

כדי לפתור את משוואת המטריצה, עלינו לבודד את ה- X בצד אחד של סימן השווה. לשם כך, בואו נפחית את המטריצה A משני הצדדים.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

עכשיו, בואו נגרע את ה- X, גם משני הצדדים. במקרה זה, המשוואה תהיה:

BX - X = X - X + 2C - A.
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A.

מכיוון שאני מטריקס הזהות, כאשר אנו מכפילים מטריצה בזהות, התוצאה היא המטריצה עצמה.

לכן, כדי לבודד את X עלינו להכפיל כעת את שני הצדדים של סימן השווה במטריצה ההפוכה של (B-I), כלומר:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

לזכור שכאשר מטריצה אינה הפיכה, תוצר המטריצה על ידי ההפוך שווה למטריצת הזהות.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

לפיכך, למשוואה יהיה פתרון כאשר B - I אינו הפיך.

חלופה: ד) ב - אני הפיך, כאשר אני מטריצת הזהות של הסדר n.

6) האויב - 2012

תלמיד רשם את הציונים הדו-חודשיות של חלק מהנושאים שלו בטבלה. הוא ציין כי הערכים המספריים בטבלה היוו מטריצה של 4x4, וכי הוא יכול לחשב ממוצעים שנתיים עבור תחומים אלה באמצעות תוצר של מטריצות. לכל הבדיקות היה אותו משקל, והטבלה שקיבל מוצגת להלן

כדי להשיג ממוצעים אלה הוא הכפיל את המטריצה שהתקבלה מהטבלה ב

סוגריים ימניים שטח פתוח סוגריים מרובעים שורה שורה עם תא עם חצי קצה תא אחד עם חצי קצה של תא עם חצי קצה של תא עם חצי קצה אחד בקצה התא של הטבלה סוגרים סוגריים מרובעים b סוגריים ימניים שטח פתוח בסוגריים מרובעים שורה עם קצה תא רביעי אחד של תא 1 קצה תא רביעי של תא עם קצה רביעי אחד של תא עם קצה רביעי אחד של סוף התא של סוגריים מרובעים c סוגריים ימניים שטח של סוגריים מרובעים פתוח 1 שורה 1 שורה 1 שורה 1 שורה עם קצה אחד של טבלה סוגריים סגורים d סוגריים ימניים שטח סוגריים פתוחים שורה עם תא עם חצי קצה של שורה שורה עם תא עם חצי קצה אחד של שורה עם תא עם חצי קצה אחד של שורה עם תא עם חצי קצה אחד של סוף שולחן סוגריים מרובעים וסוגריים ימניים שטח פתוח סוגריים מרובעים שולחן שורה עם תא עם 1 קצה רביעי של שורת תאים עם תא עם 1/4 קצה של שורת תאים עם תא עם 1/4 קצה של שורה עם תא עם 1/4 קצה של תא סוף שולחן סוֹגְרַיִם

ראה תשובה

הממוצע החשבוני מחושב על ידי הוספת כל הערכים וחלוקה במספר הערכים.

לפיכך, על התלמיד להוסיף את הציונים של 4 הבימסטרים ולחלק את התוצאה ב -4 או להכפיל כל כיתה ב 1/4 ולהוסיף את כל התוצאות.

באמצעות מטריצות, אנו יכולים להשיג את אותה תוצאה על ידי הכפלת מטריצה.

עם זאת, עלינו לזכור כי ניתן להכפיל רק שתי מטריצות כאשר מספר העמודות באחת שווה למספר השורות בשנייה.

מכיוון שמטריצת ההערות כוללת 4 עמודות, על המטריצה שאנחנו נכפיל להכיל 4 שורות. לפיכך, עלינו להכפיל את מטריצת העמודות:

סוגריים מרובעים פתוחים שורה שורה עם תא 1 קצה רביעי של שורה עם תא 1 קצה רביעי של תא שורה עם תא עם 1/4 קצה של תא שורה עם תא עם 1/4 קצה של תא שולחן קרוב סוֹגְרַיִם

חלופה: ו

7) Fuvest - 2012

שקול את המטריצה שווה לשולחן סוגריים מרובעים פתוחים שורה עם תא עם 2 פלוס 1 קצה שורה של תא עם תא עם מינוס 1 קצה של תא עם פלוס 1 קצה של תא סוגריים סוגריים , על מה ה הוא מספר ממשי. בידיעה שא 'מודה בהפוך א'^-1 שהעמודה הראשונה שלה היא סוגריים מרובעים פתוחים שולחן שורה עם תא עם מינוס 2 קצה של שורה תא עם תא עם מינוס 1 קצה של תא סוף שולחן סוגריים מרובעים , סכום האלמנטים של האלכסון הראשי של A.^-1 זה אותו דבר כמו