תרגילים על סטים ופעולות קבועות

במתמטיקה, קבוצות מייצגות את איסוף האובייקטים השונים והפעולות המבוצעות עם קבוצות הן: איחוד, צומת ושוני.

השתמש ב -10 השאלות הבאות כדי לבדוק את הידע שלך. השתמש ברזולוציות שהגיבו כדי לנקות את ספקותיך.

שאלה 1

שקול את הסטים

A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}

נכון לומר ש:

א) א ב
ב) ה ב
ג) ב ה
ד) ב ה

ראה תשובה

חלופה נכונה: ב) א ב.

שגוי. ישנם אלמנטים של B שאינם שייכים לקבוצה A. לכן, אנחנו לא יכולים לומר ש- A מכיל את B. ההצהרה הנכונה תהיה ב ה.

ב) נכון. שימו לב שכל האלמנטים של A הם גם אלמנטים של B. לכן, אנו יכולים לומר ש- A כלול ב- B, A הוא חלק מ- B, או ש- A היא תת קבוצה של B.

ג) לא נכון. אין אלמנט של A שאינו שייך לקבוצה B. לכן, איננו יכולים לומר כי B אינו מכיל A.

ד) שגוי. מכיוון ש- A היא תת קבוצה של B, אזי צומת הסטים A ו- B הוא הסט A עצמו: B A = A

שאלה 2

עיין בערכות הבאות וסמן את החלופה הנכונה.

A = {x | x הוא מכפיל חיובי של 4}
B = {x | x הוא מספר זוגי ו -4 איקס 16}

א) 145 ה
26 A ו- B
ג) 11 ב
ד) 12 A ו- B

ראה תשובה

חלופה נכונה: ד) 12 A ו- B

מערכי השאלה מיוצגים על ידי חוקי היווצרותם. לפיכך, קבוצה A נוצרת על ידי מכפילים חיוביים של 4, כלומר A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...} והקבוצה B אוספת מספרים שווים או גדולים מ- 4 ופחות מ 16. לכן, B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.

בניתוח החלופות יש לנו:

שגוי. 145 הוא מספר המסתיים ב- 5 ולכן הוא מכפיל של 5.

ב) לא נכון. 26, למרות היותו מספר זוגי, גדול מ- 16 ולכן אינו חלק מערכה ב '.

ג) לא נכון. 11 אינו מספר זוגי, אלא מספר ראשוני, כלומר הוא מתחלק רק ב -1 ובעצמו.

ד) נכון. 12 שייך לקבוצות A ו- B מכיוון שהוא מכפיל של 4 והוא מספר זוגי הגדול מ- 4 ופחות מ- 16.

שאלה 3

מהו החוק האפשרי להיווצרות הסט A = {2, 3, 5, 7, 11}?

a) A = {x | x הוא מספר סימטרי ו- 2 ב) A = {x | x הוא מספר ראשוני ו- 1 c) A = {x | x הוא מספר אי זוגי חיובי ו- 1 d) A = {x | x הוא מספר טבעי הנמוך מ- 10}

ראה תשובה

חלופה נכונה: ב) A = {x | x הוא מספר ראשוני ו- 1

שגוי. מספרים סימטריים, הנקראים גם הפכים, מופיעים באותו מרחק על קו המספרים. לדוגמא, 2 ו- - 2 הם סימטריים.

ב) נכון. הערכה שהוצגה היא של מספרים ראשוניים, כאשר 2 הוא המספר העיקרי הקטן ביותר וגם היחיד שווה.

ג) לא נכון. למרות שרוב המספרים מוזרים, יש את המספר 2 בסט, שהוא שווה.

ד) שגוי. למרות שכל המספרים טבעיים, הסט מכיל את המספר 11, שגדול מ -10.

שאלה 4

איחוד הסטים A = {x | x הוא מספר ראשוני ו- 1

א) א B = {1,2,3,5.7}
ב) ה B = {1,2,3,5.7}
ג) ה B = {1,2,3,5.7}
נותן B = {1,2,3,5.7}

ראה תשובה

חלופה נכונה: ד) א B = {1, 2, 3, 5, 7}

עבור הסט A = {x | x הוא מספר ראשוני ו- 1

A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}

שגוי. A אינו מכיל B, שכן אלמנט 1 אינו חלק מ- A.

ב) לא נכון. A אינו נכלל ב- B, שכן אלמנט 2 אינו חלק מ- B.

ג) לא נכון. A אינו שייך ל- B, שכן לסטים יש אלמנט מובהק.

ד) נכון. איחוד הקבוצות תואם לחיבור האלמנטים המרכיבים אותם ומיוצג על ידי הסמל .

לכן האיחוד של A = {2, 3, 5, 7} ו- B = {1, 3, 5, 7} הוא A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.

שאלה 5

התווה את הסטים A = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, B = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} ו- C = {-5, - 3, 1, 2, 3, 5} בתרשים ון ואז קבעו:

א) א ב
ב) ג ב
ג) ג - א
ד) ב (ה Ç)

ראה תשובה

תשובה נכונה:
א) {1, 6, 7};
ב) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
ג) {-5, 2, 3, 5} ו-
ד) {1, 3, 5, 6, 7}.

הפצת אלמנטים של הסטים בתרשים ון, יש לנו:

בעת ביצוע פעולות עם הסטים הנתונים, יש לנו את התוצאות הבאות:

א) א B = {1, 6, 7}

ייצוג צומת הסטים בתרשים ון

ב) ג B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}

ייצוג איחוד הסטים בתרשים ון

ג) C - A = {-5, 2, 3, 5}

ייצוג ההבדל בין הסטים בתרשים ון

ד) ב (ה C) = {1, 3, 5, 6, 7}

שאלה 6

שימו לב לאזור הבקוע של הדמות וסמנו את החלופה המייצגת אותה.

א) ג (ה ב)
ב) ג - (א ב)
ג) ג (A - B)
ד) ג (ה ב)

ראה תשובה

תשובה נכונה: ב) ג - (א ב)

שים לב שהאזור הבקוע מייצג אלמנטים שאינם שייכים לקבוצות A ו- B. לכן, זהו הבדל בין קבוצות, אותו אנו מציינים על ידי (-).

כיוון שקבוצות A ו- B בעלות אותו צבע, אנו יכולים לומר שיש ייצוג של איחוד הקבוצות, כלומר חיבור האלמנטים של A ו- B, המיוצג על ידי A ב.

לכן אנו יכולים לומר שהאזור הבקוע הוא ההבדל של C מאיחוד A ו- B, כלומר C - (A ב).

שאלה 7

בקורס קדם-אוניברסיטאי לומדים 600 סטודנטים למקצועות בודדים. 300 סטודנטים לומדים במתמטיקה, 200 תלמידים לומדים בשיעורי פורטוגזית ו -150 תלמידים אינם לומדים במקצועות אלה.

בהתחשב בסטודנטים שנרשמו לקורס (U), סטודנטים שלוקחים מתמטיקה (M) וסטודנטים שלוקחים פורטוגזית (P), קובעים:

א) מספר הסטודנטים למתמטיקה או פורטוגזית
ב) מספר התלמידים במתמטיקה ופורטוגזית

ראה תשובה

תשובה נכונה:

א) נ (מ P) = 450
ב) n (מ P) = 50

א) מספר התלמידים המבוקש כולל גם מתמטיקה וגם סטודנטים פורטוגזיים. לכן עלינו למצוא את האיחוד בין שתי הסטים.

ניתן לחשב את התוצאה על ידי הפחתת המספר הכולל של התלמידים בבית הספר לפי מספר התלמידים שלא לוקחים מקצועות אלה.

n (מ P) = n (U) - 150 = 600 - 150 = 450

ב) מכיוון שהתוצאה המבוקשת היא מסטודנטים הלומדים מתמטיקה ופורטוגזית, עלינו למצוא את צומת הסטים, כלומר את האלמנטים המשותפים לשתי המערכות.

אנו יכולים לחשב את צומת שתי הערכות על ידי הוספת מספר התלמידים שנרשמו למקצועות פורטוגזית ומתמטיקה ואז מחסרים את מספר הסטודנטים שלומדים את שני המקצועות הללו באותו הזמן זְמַן.

n (מ P) = n (M) + n (P) - n (M. P) = 300 + 200 - 450 = 50

שאלה 8

קבוצות מספריות כוללות את המערכות הבאות: טבעיות (ℕ), שלמים (ℤ), רציונלים (ℚ), אי-היגויות (I), אמיתיות (ℝ), ומתחמים (ℂ). בסטים הנ"ל, סמן את ההגדרה המתאימה לכל אחת מהן.

1. מספרים טבעיים	() מכסה את כל המספרים שניתן לכתוב כשבר, עם מספר שלם ומכנה.
2. מספרים שלמים	() תואם את איחוד הרציונלים עם ההיגויים.
3. מספר רציונלי	() הם מספרים עשרוניים, אינסופיים ולא תקופתיים ולא ניתן לייצג אותם על ידי שברים בלתי ניתנים להפחתה.
4. מספרים אי - רציונליים	() נוצר על ידי המספרים בהם אנו משתמשים בספירות {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}
5. מספרים אמיתיים	() כולל שורשים מסוג √-n.
6. מספרים מסובכים	() אוסף את כל יסודות המספרים הטבעיים ואת ניגודיהם.

ראה תשובה

תשובה נכונה: 3, 5, 4, 1, 6, 2.

(3) מספר רציונלי לכסות את כל המספרים שניתן לכתוב כשבר, עם מספר שלם ומכנה. סט זה כולל חלוקות לא מדויקות. ℚ = {x = a / b, עם ∈ ℤ, b ∈ ℤ ו- b ≠ 0}

(5) ה מספרים אמיתיים תואמים את איחוד הרציונלים עם ההיגויים, כלומר ℝ = ℚ ∪ I.

(4) ה מספרים אי - רציונליים הם מספרים עשרוניים, אינסופיים ולא תקופתיים ולא ניתן לייצג אותם על ידי שברים בלתי ניתנים להפחתה. המספרים בקבוצה זו נובעים מפעולות שלא ניתן היה לכתוב את התוצאה כשבר. לדוגמא ל- √ 2.

(1) ה מספרים טבעיים נוצרים על ידי המספרים בהם אנו משתמשים בספירות ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}.

(6) ה מספרים מסובכים כוללים שורשים מסוג √-n וכך גם הרחבה של מספרים ממשיים.

(2) מספרים שלמים להפגיש את כל יסודות המספרים הטבעיים ואת ניגודיהם. כדי להיות מסוגל לפתור את כל החיסור, כגון 7 - 10, הורחבה קבוצת הטבעיים וכך הופיעה קבוצת המספרים השלמים. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

שאלה 9

(מותאם ל- UNB) מתוך 200 אנשים שנבדקו לגבי העדפותיהם בצפייה באליפויות מירוץ בטלוויזיה, נאספו הנתונים הבאים:

• 55 מהנשאלים אינם צופים;
• 101 צופה במירוצי פורמולה 1;
• 27 צופים במירוצי פורמולה 1 ואופנועים;

כמה מהאנשים שרואיינו צופים במירוצי אופנועים באופן בלעדי?

א) 32
ב) 44
56
ד) 28

ראה תשובה

תשובה נכונה: ב) 44.

שלב 1: קבע את המספר הכולל של אנשים שצופים במרוצים

לשם כך, עלינו רק להפחית את המספר הכולל של משיבים מאלו שהצהירו שלא להשתתף באליפות המירוצים.

200 - 55 = 145 איש

שלב שני: לחשב את מספר האנשים שצופים רק במירוצי אופנועים

74 + 27 + (x - 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145 - 74
x = 71

הפחתת ערך ה- x מהצומת של שתי הערכות, אנו מוצאים את מספר הנשאלים שרואים רק מירוצי מהירות אופנועים.

71 - 27 = 44

שאלה 10

(UEL-PR) בזמן נתון, היו שלושה ערוצי טלוויזיה בתכנותיהם אופרות סבון בפריים טיים שלהם: אופרת סבון בערוץ A, אופרת סבון B בערוץ B ואופרת סבון C בערוץ C. בסקר שנערך בקרב 3000 איש נשאל אילו אופרות סבון הן אוהבות. הטבלה שלהלן מציינת את מספר הצופים שהגדירו את אופרות הסבון כמהנות.

אופרות סבון	מספר הצופים
ה	1450
ב	1150
Ç	900
A ו- B	350
A ו- C	400
B ו- C.	300
A, B ו- C	100

כמה צופים שרואיינו לא מוצאים אף אחת משלוש אופרות הסבון נעימות?
א) 300 צופים.
ב) 370 צופים.
ג) 450 צופים.
ד) 470 צופים.
ה) 500 צופים.

ראה תשובה

תשובה נכונה: ג) 450 צופים.

ישנם 450 צופים שלא מוצאים אף אחת משלושת הטלנובלות נעימות.

למידע נוסף עיין בטקסטים הבאים:

• תורת הקבוצות
• פעולות עם סטים
• סטים מספריים
• תרגילים על סטים מספריים