ה משוואה לתואר שני מקבל את שמו כי זו משוואת פולינום שמונח הדרגה הגבוהה ביותר שלה הוא בריבוע. המכונה גם משוואה ריבועית, והיא מיוצגת על ידי:
גַרזֶן2 + bx + c = 0
במשוואה לתואר שני, ה- איקס הוא הלא ידוע ומייצג ערך לא ידוע. כבר המילים ה, ב ו ç נקראים מקדמי משוואה.
המקדמים הם מספרים אמיתיים והמקדם ה זה צריך להיות שונה מאפס, אחרת זה הופך למשוואה מדרגה 1.
פתרון משוואה מדרגה שנייה פירושו לחפש ערכים אמיתיים של איקס, שהופכים את המשוואה לאמיתית. ערכים אלה נקראים שורשי המשוואה.
למשוואה ריבועית יש לכל היותר שני שורשים אמיתיים.
משוואות תיכון שלמות ובלתי שלמות
משוואות תואר שני לְהַשְׁלִים הם אלה שיש להם את כל המקדמים, כלומר, a, b ו- c שונים מאפס (a, b, c ≠ 0).
לדוגמא, המשוואה 5x2 + 2x + 2 = 0 הושלם מכיוון שכל המקדמים אינם אפסיים (a = 5, b = 2 ו- c = 2).
משוואה ריבועית היא לא שלם כאשר b = 0 או c = 0 או b = c = 0. לדוגמא, המשוואה 2x2 = 0 אינו שלם מכיוון ש = 2, b = 0 ו- c = 0
תרגילים נפתרו
1) קבע את הערכים של איקס שהופכים את המשוואה ל 4x2 - 16 = 0 נכון.
פִּתָרוֹן:
המשוואה הנתונה היא משוואה שלמה של תואר שני, עם b = 0. למשוואות מסוג זה נוכל לפתור על ידי בידוד ה- איקס. לכן:
שים לב כי השורש הריבועי של 4 יכול להיות 2 ו- - 2, שכן שני המספרים בריבוע אלה מביאים ל -4.
אז שורשי המשוואה 4x2 - 16 = 0 הם x = - 2 ו x = 2
2) מצא את הערך של x כך ששטח המלבן שמתחת יהיה שווה ל -2.
פִּתָרוֹן:
שטח המלבן נמצא על ידי הכפלת הבסיס בגובה. אז עלינו להכפיל את הערכים הנתונים ושווים ל -2.
(x - 2). (x - 1) = 2
עכשיו נכפיל את כל המונחים:
איקס. x - 1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
איקס2 - 1x - 2x + 2 = 2
איקס2 - 3x + 2 - 2 = 0
איקס2 - 3x = 0
לאחר פתרון הכפלות והפשטות, אנו מוצאים משוואה ריבועית שלמה, עם c = 0.
סוג זה של משוואה ניתן לפתור באמצעות ה- פרוק לגורמים, בגלל ה איקס חוזר על עצמו בשני המונחים. אז אנחנו הולכים להכניס את זה לראיה.
איקס. (x - 3) = 0
כדי שהמוצר יהיה שווה לאפס, או x = 0 או (x - 3) = 0. עם זאת, החלפה איקס באפס, מדידות הצד הן שליליות, ולכן ערך זה לא יהיה התשובה לשאלה.
אז יש לנו שהתוצאה האפשרית היחידה היא (x - 3) = 0. פתרון משוואה זו:
x - 3 = 0
x = 3
באופן זה, הערך של ה- איקס כך ששטח המלבן שווה ל- 2 הוא x = 3.
נוסחת בהאסקרה
כאשר משוואה ריבועית הושלמה, אנו משתמשים ב- נוסחת בהאסקרה למצוא את שורשי המשוואה.
הנוסחה מוצגת להלן:
נוסחת דלתא
בנוסחה של בהאסקרה מופיע האות היוונית Δ (דלתא), הנקרא מפלה של המשוואה, מכיוון שעל פי ערכה ניתן לדעת את מספר השורשים שיהיו למשוואה.
כדי לחשב את הדלתא אנו משתמשים בנוסחה הבאה:
צעד אחר צעד
כדי לפתור משוואה של תואר שני, באמצעות הנוסחה של בהאסקרה, עלינו לבצע את השלבים הבאים:
שלב 1: זהה את המקדמים ה, ב ו ç.
מונחי המשוואה לא תמיד מופיעים באותו סדר, ולכן חשוב לדעת לזהות את המקדמים, ללא קשר לרצף בו הם נמצאים.
המקדם ה הוא המספר המתאים ל- x2, O ב הוא המספר המלווה את איקס זה ה ç הוא המונח העצמאי, כלומר המספר המופיע ללא ה- x.
שלב שני: חשב את הדלתא.
כדי לחשב את השורשים יש לדעת את ערך הדלתא. לשם כך אנו מחליפים את האותיות בנוסחה בערכי המקדם.
אנו יכולים, מערך הדלתא, לדעת מראש את מספר השורשים שיהיו למשוואת התואר השני. כלומר, אם הערך של Δ גדול מאפס (Δ > 0), למשוואה יהיו שני שורשים אמיתיים ומובחנים.
אם נהפוך הוא, דלתא קטנה מאפס (Δ), למשוואה לא יהיו שורשים אמיתיים ואם היא שווה לאפס (Δ = 0), למשוואה יהיה רק שורש אחד.
שלב שלישי: חשב את השורשים.
אם הערך שנמצא עבור דלתא הוא שלילי, אינך צריך לבצע חישובים נוספים והתשובה היא שלמשוואה אין שורשים אמיתיים.
אם ערך הדלתא שווה או גדול מאפס, עלינו להחליף את כל האותיות בערכיהן בנוסחה של בהאסקרה ולחשב את השורשים.
תרגיל נפתר
קבע את שורשי המשוואה 2x2 - 3x - 5 = 0
פִּתָרוֹן:
כדי לפתור זאת, ראשית עלינו לזהות את המקדמים, כך שיש לנו:
a = 2
b = - 3
c = - 5
כעת אנו יכולים למצוא את ערך הדלתא. עלינו להקפיד על כללי הסימנים ולזכור שעלינו לפתור תחילה וכפל, ואז חיבור וחיסור.
Δ = (- 3)2 - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49
מכיוון שהערך שנמצא חיובי, אנו נמצא שני ערכים מובחנים לשורשים. אז עלינו לפתור את הנוסחה של בהאסקרה פעמיים. אז יש לנו:
אז שורשי המשוואה 2x2 - 3x - 5 = 0 הם x = 5/2 ו x = - 1.
מערכת משוואה לתואר שני
כאשר אנו רוצים למצוא ערכים של שני לא ידועים שונים המספקים בו זמנית שתי משוואות, יש לנו a מערכת משוואות.
המשוואות המרכיבות את המערכת יכולות להיות מהדרגה הראשונה ומהדרגה השנייה. כדי לפתור סוג זה של מערכת נוכל להשתמש בשיטת ההחלפה ובשיטת התוספת.
תרגיל נפתר
פתר את המערכת למטה:
פִּתָרוֹן:
כדי לפתור את המערכת נוכל להשתמש בשיטת ההוספה. בשיטה זו, אנו מוסיפים מונחים דומים מהמשוואה הראשונה לאלה מהמשוואה השנייה. לכן, אנו מצמצמים את המערכת למשוואה אחת.
אנחנו עדיין יכולים לפשט את כל תנאי המשוואה ב -3 והתוצאה תהיה המשוואה x2 - 2x - 3 = 0. לפתרון המשוואה יש לנו:
Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16
לאחר מציאת ערכי ה- x, אל לנו לשכוח שעדיין עלינו למצוא את ערכי ה- y שהופכים את המערכת לאמיתית.
לשם כך, פשוט החליפו את הערכים שנמצאו עבור x באחת המשוואות.
y1 - 6. 3 = 4
y1 = 4 + 18
y1 = 22
y2 - 6. (-1) = 4
y2 + 6 = 4
y2 = - 2
לכן הערכים העונים על המערכת המוצעת הם (3, 22) ו- (-1, - 2)
אתה עשוי להתעניין גם ב משוואת תואר ראשון.
תרגילים
שאלה 1
לפתור את המשוואה הריבועית המלאה באמצעות הנוסחה של בהסקארה:
2x2 + 7x + 5 = 0
קודם כל חשוב להקפיד על כל מקדם במשוואה, לכן:
a = 2
b = 7
c = 5
באמצעות הנוסחה של הבחנה של המשוואה, עלינו למצוא את הערך של Δ.
זה כדי למצוא אחר כך את שורשי המשוואה דרך הנוסחה הכללית או הנוסחה של בהאסקרה:
Δ = 72 – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9
שים לב שאם הערך של Δ גדול מאפס (Δ > 0), למשוואה יהיו שני שורשים אמיתיים ומובחנים.
לכן, לאחר שנמצא את Δ, בואו נחליף אותו בנוסחה של בהאסקרה:
לכן הערכים של שני השורשים האמיתיים הם: איקס1 = - 1 ו איקס2 = - 5/2
בדוק שאלות נוספות בכתובת משוואה בתיכון - תרגילים
שאלה 2
לפתור משוואות תואר שני שלמות:
א) פי 52 - x = 0
ראשית, אנו מחפשים את מקדמי המשוואה:
a = 5
b = - 1
c = 0
זו משוואה לא שלמה כאשר c = 0.
כדי לחשב את זה נוכל להשתמש בפקטוריזציה, שבמקרה זה מכניסה את x לראיה.
פי 52 - x = 0
איקס. (5x-1) = 0
במצב זה המוצר יהיה שווה לאפס כאשר x = 0 או כאשר 5x -1 = 0. אז בואו נחשב את הערך של x:
אז שורשי המשוואה הם איקס1 = 0 ו איקס2 = 1/5.
ב) 2x2 – 2 = 0
a = 2
b = 0
c = - 2
זו משוואה לא שלמה של תואר שני, כאשר b = 0, החישוב שלה יכול להיעשות על ידי בידוד ה- x:
איקס1 = 1 ו- x2 = - 1
אז שני שורשי המשוואה הם איקס1 = 1 ו איקס2 = - 1
ג) פי 52 = 0
a = 5
b = 0
c = 0
במקרה זה, המשוואה הלא שלמה מציגה מקדמים b ו- c שווים לאפס (b = c = 0):
לכן, לשורשי המשוואה הזו יש את הערכים איקס1 = איקס2 = 0
למידע נוסף, קרא גם:
- פונקציה ריבועית
- סכום ומוצר
- אי שיוויון
- משוואות לא רציונליות
- קודקוד הפרבולה
