מושג וחישוב ההסתברות

ה תאוריית ההסתברות הוא ענף המתמטיקה החוקר ניסויים או תופעות אקראיות ובאמצעותו ניתן לנתח את הסיכויים לאירוע מסוים.

כאשר אנו מחשבים את ההסתברות, אנו משייכים מידה של ביטחון שהתוצאות האפשריות של ניסויים יתרחשו, שלא ניתן לקבוע מראש את תוצאותיהן.

באופן זה, חישוב ההסתברות משייך את התרחשותה של תוצאה לערך המשתנה בין 0 ל -1, וככל שהתוצאה קרובה יותר ל -1 כך גדלה הוודאות בהתרחשותה.

לדוגמא, אנו יכולים לחשב את ההסתברות שאדם יקנה כרטיס לוטו מנצח או לדעת את הסיכויים שלזוג יהיו 5 ילדים, כולם בנים.

ניסוי אקראי

ניסוי אקראי הוא שלא יכול לחזות איזו תוצאה תימצא לפני ביצועה.

אירועים מסוג זה, כאשר הם חוזרים על עצמם באותם תנאים, יכולים לתת תוצאות שונות וחוסר העקביות הזה מיוחס במקרה.

דוגמה לניסוי אקראי היא לגלגל מטה לא משוחד (מת שיש לו חלוקת מסה הומוגנית) כלפי מעלה. בעת נפילה, לא ניתן לחזות בוודאות מי מבין 6 הפרצופים יפנו כלפי מעלה.

נוסחת הסתברות

בתופעה אקראית, הסיכוי לאירוע להתרחש סביר באותה מידה.

לכן אנו יכולים למצוא את ההסתברות שתוצאה מסוימת תתרחש על ידי חלוקת מספר האירועים החיוביים ומספר התוצאות האפשרי:

להיות:

p (A): הסתברות להתרחשות אירוע A

בְּ): מספר המקרים שמעניינים אותנו (אירוע א ')
n (Ω): המספר הכולל של מקרים אפשריים

דוגמאות

1) אם אנו מגלגלים תבנית מושלמת, מה הסבירות שמספר פחות מ -3 יתגלגל?

פִּתָרוֹן

בתור המוות המושלם, לכל 6 הפנים יש סיכוי שווה ליפול עם הפנים כלפי מעלה. אז בואו נשתמש בנוסחת ההסתברות.

לשם כך עלינו לקחת בחשבון שיש לנו 6 מקרים אפשריים (1, 2, 3, 4, 5, 6) וכי לאירוע "מתוך מספר קטן מ -3" יש 2 אפשרויות, כלומר מתוך המספר 1 או המספר 2. אז יש לנו:

2) חבילת הקלפים מורכבת מ -52 קלפים המחולקים לארבע חליפות (לבבות, מועדונים, יהלומים וסלפים) עם 13 קלפים מכל חליפה. לפיכך, אם אתה מצייר קלף באופן אקראי, מה הסבירות שייצא קלף מחליפת המועדון?

פִּתָרוֹן

כאשר אנו מציירים כרטיס באופן אקראי, איננו יכולים לחזות מה יהיה כרטיס זה. אז זהו ניסוי אקראי.

במקרה זה, מספר הקלפים מתאים למספר המקרים האפשריים ויש לנו 13 מועדונים המייצגים את מספר האירועים המועדפים.

החלפת ערכים אלה בנוסחת ההסתברות, יש לנו:

שטח לדוגמא

מיוצג על ידי המכתב Ω, שטח המדגם מתאים למכלול התוצאות האפשריות שהתקבלו מניסוי אקראי.

לדוגמה, כאשר לוקחים כרטיס באופן אקראי מחפיסה, שטח הדוגמה מתאים ל -52 הקלפים המרכיבים את החפיסה הזו.

כמו כן, שטח הדגימה בעת גלגול של תבנית פעם אחת, הם שש הפרצופים המרכיבים אותו:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5 ו- 6}.

סוגי אירועים

האירוע הוא כל תת קבוצה של שטח המדגם של ניסוי אקראי.

כאשר אירוע זהה לחלוטין למרחב המדגם שלו, הוא נקרא a אירוע נכון. לעומת זאת, כאשר האירוע ריק, הוא נקרא a אירוע בלתי אפשרי.

דוגמא

דמיין שיש לנו קופסה עם כדורים שמספרם בין 1 ל -20 ושכל הכדורים אדומים.

אירוע ה"צייר כדור אדום "הוא אירוע בטוח, מכיוון שכל הכדורים בתיבה הם בצבע זה. האירוע "צייר מספר גדול מ -30" אינו אפשרי, מכיוון שהמספר הגבוה ביותר בתיבה הוא 20.

ניתוח קומבינטורי

במצבים רבים ניתן לגלות ישירות את מספר האירועים האפשריים והנוחים בניסוי אקראי.

עם זאת, בכמה בעיות תצטרך לחשב ערכים אלה. במקרה זה נוכל להשתמש בנוסחאות התמורה, הסידור והשילוב בהתאם למצב המוצע בשאלה.

למידע נוסף על הנושא, עבור אל:

• ניתוח קומבינטורי
• תרגילי ניתוח קומבינטוריים
• עקרון יסוד של ספירה
• תְמוּרָה

דוגמא

(EsPCEx - 2012) ההסתברות לקבל מספר המתחלק ב -2 בבחירה אקראית של אחת התמורות של הספרות 1, 2, 3, 4, 5 היא

פִּתָרוֹן

במקרה זה עלינו לברר את מספר האירועים האפשריים, כלומר כמה מספרים שונים אנו מקבלים על ידי שינוי סדר חמש הספרות הנתונות (n = 5).

מכיוון שבמקרה זה סדר הספרות יוצר מספרים שונים, נשתמש בנוסחת התמורה. לכן יש לנו:

אירועים אפשריים:

לכן, עם 5 ספרות אנו יכולים למצוא 120 מספרים שונים.

כדי לחשב את ההסתברות, עלינו עדיין למצוא את מספר האירועים החיוביים שבמקרה זה, זה למצוא מספר שמתחלק ב -2, מה שיקרה כאשר הספרה האחרונה של המספר היא 2 או 4.

בהתחשב בעובדה שלמיקום האחרון יש לנו רק שתי אפשרויות אלה, אז נצטרך להחליף את 4 העמדות האחרות המרכיבות את המספר, כך:

אירועים חיוביים:

ההסתברות תימצא על ידי ביצוע:

קרא גם:

• המשולש של פסקל
• מספרים מסובכים
• מתמטיקה באויב

תרגיל נפתר

1) PUC / RJ - 2013

אם a = 2n + 1 עם n ∈ {1, 2, 3, 4}, אז ההסתברות למספר ה להיות זוג זה

ל -1
ב) 0.2
ג) 0.5
ד) 0.8
ה) 0

ראה תשובה

כאשר אנו מחליפים את כל הערכים האפשריים של n בביטוי למספר a, אנו מבחינים שהתוצאה תמיד תהיה מספר אי זוגי.

לכן, "להיות מספר זוגי" הוא אירוע בלתי אפשרי. במקרה זה, ההסתברות שווה לאפס.

חלופה: ה) 0

2) UPE - 2013

בקבוצה של קורס ספרדית, שלושה אנשים מתכוונים לעשות תוכנית חילופין בצ'ילה, ושבעה בספרד. מבין עשרת האנשים הללו נבחרו שניים לראיון שימשוך מלגות ללימודים בחו"ל. ההסתברות ששני האנשים הנבחרים הללו שייכים לקבוצת המתכוונים לערוך חילופי דברים בצ'ילה היא

ראה תשובה

ראשית, בואו נמצא את מספר המצבים האפשריים. מכיוון שהבחירה של שני האנשים אינה תלויה בסדר, נשתמש בנוסחת השילוב כדי לקבוע את מספר המקרים האפשריים, כלומר:

אז יש 45 דרכים לבחור 2 אנשים מתוך קבוצה של 10 אנשים.

כעת עלינו לחשב את מספר האירועים החיוביים, כלומר שני האנשים שנמשכו רוצים לבצע את ההחלפה בצ'ילה. שוב נשתמש בנוסחת השילוב:

אז יש 3 דרכים לבחור 2 אנשים מתוך 3 שרוצים ללמוד בצ'ילה.

עם הערכים שנמצאו, אנו יכולים לחשב את ההסתברות המבוקשת להחליף בנוסחה:

חלופה: ב)

קרא עוד על כמה נושאים קשורים:

• הבינום של ניוטון
• תרגילי הסתברות (קלים)
• תרגילי הסתברות
• סטטיסטיקה
• סטטיסטיקה - תרגילים
• נוסחאות מתמטיקה