משוואה בתיכון: תרגילים ושאלות תחרות שהגיבו

אחד משוואה לתואר שני היא המשוואה כולה בצורה גַרזֶן² + bx + c = 0, עם מספרים אמיתיים a, b ו- c ו- ≠ 0. כדי לפתור משוואה מסוג זה, ניתן להשתמש בשיטות שונות.

השתמש ברזולוציות שהגיבו על התרגילים שלמטה כדי לנקות את כל ספקותיך. הקפד גם לבדוק את הידע שלך בעזרת שאלות התחרות שנפתרו.

תרגילי תגובה

תרגיל 1

הגיל של אמא שלי מוכפל בגילי שווה 525. אם כשנולדתי אמי הייתה בת 20, בת כמה אני?

פִּתָרוֹן

בהתחשב בגילי השווה ל איקסואז נוכל לשקול שגילה של אמי שווה ל x + 20. כיצד נדע את ערכו של המוצר בגילינו, אז:

איקס. (x + 20) = 525

החל על המאפיינים ההפצתיים של הכפל:

איקס² + 20 x - 525 = 0

לאחר מכן אנו מגיעים למשוואת תואר שני מלאה, עם a = 1, b = 20 ו- c = - 525.

כדי לחשב את שורשי המשוואה, כלומר את הערכים של x כאשר המשוואה שווה לאפס, נשתמש בנוסחה של בהאסקרה.

ראשית, עלינו לחשב את הערך של ∆:

כדי לחשב את השורשים, אנו משתמשים ב:

החלפת הערכים בנוסחה לעיל, נמצא את שורשי המשוואה, באופן הבא:

מכיוון שגילי לא יכול להיות שלילי, אנו בזים לערך -35. אז התוצאה היא 15 שנה.

תרגיל 2

ריבוע, המיוצג באיור למטה, בעל צורה מלבנית ושטחו שווה ל -150 מ '². בידיעה שרוחבו תואם לגובה 3/2, קבע את מידות הריבוע.

פִּתָרוֹן

בהתחשב בכך שגובהו שווה ל- איקס, הרוחב יהיה שווה ל- 3 / 2x. שטח המלבן מחושב על ידי הכפלת בסיסו בערך הגובה. במקרה זה יש לנו:

אנו מגיעים למשוואה לא שלמה של תואר שני, עם a = 3/2, b = 0 ו- c = - 1350, אנו יכולים לחשב משוואה מסוג זה על ידי בידוד ה- x וחישוב ערך השורש הריבועי.

כאשר הערך של x מייצג את מדד הגובה, אנו נתעלם מה- 30. לפיכך, גובה המלבן שווה ל -30 מ '. כדי לחשב את הרוחב, נכפיל ערך זה ב -3 / 2:

לכן רוחב הריבוע שווה ל- 45 מ ' וגובהו שווה ל- 30 מ '.

תרגיל 3

כך ש- x = 1 הוא שורש המשוואה 2ax² + (2² - a - 4) x - (2 + a²) = 0, הערכים של a צריכים להיות:

א) 3 ו -2
ב) - 1 ו -1
ג) 2 ו -3
ד) 0 ו -2
ה) - 3 ו -2

פִּתָרוֹן

כדי למצוא את הערך של a, נחליף תחילה את x ל- 1. בדרך זו המשוואה תיראה כך:

2.a.1² + (2² - ל - 4). 1 - 2 - א² = 0
2 + 2² - ל - 4 - 2 - ל² = 0
ה² + עד - 6 = 0

כעת עלינו לחשב את שורש המשוואה המלאה לתואר השני, לשם כך נשתמש בנוסחה של בהאסקרה.

לכן, האלטרנטיבה הנכונה היא אות ג.

שאלות תחרות

1) Epcar - 2017

שקול, ב- ℝ, את המשוואה (M+2) x² - 2Mx + (M - 1) = 0 במשתנה x, איפה M הוא מספר ממשי שאינו - 2.

עיין בהצהרות שלמטה ודרג אותן כ- V (TRUE) או F (FALSE).

() עבור כל m> 2 למשוואה יש סט פתרונות ריק.
() ישנם שני ערכים אמיתיים של m כדי שהמשוואה תקבל שורשים שווים.
() במשוואה, אם ∆> 0, אז m יכול להניח רק ערכים חיוביים.

הרצף הנכון הוא

א) V - V - V
ב) F - V - F
ג) F - F - V
ד) V - F - F

ראה תשובה

בואו נסתכל על כל אחת מההצהרות:

לכל m> 2 למשוואה יש סט פתרונות ריק

מכיוון שהמשוואה היא של המעלה השנייה ב- ℝ, לא יהיה לה פתרון כאשר הדלתא קטנה מאפס. לחישוב ערך זה יש לנו:

אז האמירה הראשונה נכונה.

ישנם שני ערכים אמיתיים של m כדי שהמשוואה תודה בשורשים שווים.

למשוואה יהיו שורשים אמיתיים שווים כאשר Δ = 0, כלומר:

- 4 מ '+ 8 = 0
m = 2

לכן, ההצהרה היא שקרית שכן יש רק ערך אחד של m שבו השורשים אמיתיים ושווים.

במשוואה, אם ∆> 0, אז m יכול לקחת רק ערכים חיוביים.

עבור Δ> 0 יש לנו:

מכיוון שיש במכלול המספרים האינסופיים האינסופיים מספרים שליליים פחות מ -2, ההצהרה גם כוזבת.

חלופה ד: V-F-F

2) קולטק - UFMG - 2017

לורה צריכה לפתור משוואה של התואר השני ב"בית ", אך מבינה שכאשר היא מעתיקה מהלוח למחברת, היא שכחה להעתיק את המקדם x. כדי לפתור את המשוואה, הוא רשם אותה באופן הבא: 4x² + גרזן + 9 = 0. מכיוון שהיא ידעה שלמשוואה יש פיתרון אחד בלבד, וזה חיובי, היא הצליחה לקבוע את הערך של a, שהוא

א) - 13
ב) - 12
ג) 12
ד) 13

ראה תשובה

כאשר למשוואה של המעלה השנייה יש פיתרון יחיד, הדלתא, מנוסחתה של בהאסקרה, שווה לאפס. אז כדי למצוא את הערך של ה, פשוט לחשב את הדלתא, השווה לערכה לאפס.

אז אם a = 12 או a = - 12 למשוואה יהיה שורש אחד בלבד. עם זאת, עלינו עדיין לבדוק אילו מהערכים של ה התוצאה תהיה שורש חיובי.

לשם כך, בואו נמצא את השורש, את הערכים של ה.

אז עבור a = -12 למשוואה יהיה רק ​​שורש אחד וחיובי.

חלופה ב ': -12

3) האויב - 2016

יש לאטום מנהרה בכיסוי בטון. חתך המנהרה וכיסוי הבטון כוללים קווי מתאר של קשת פרבולה ובאותה מידה. כדי לקבוע את עלות העבודה, על מהנדס לחשב את השטח מתחת לקשת הפרבולית המדוברת. באמצעות הציר האופקי בגובה הקרקע ובציר הסימטריה של הפרבולה כציר האנכי, הוא השיג את המשוואה הבאה לפרבולה:
y = 9 - x², כאשר x ו- y נמדדים במטרים.
ידוע שהשטח שמתחת לפרבולה כזו שווה ל 2/3 משטח המלבן שמידותיו שוות, בהתאמה, לבסיס וגובה הכניסה למנהרה.
מה השטח של חזית כיסוי הבטון, במטר רבוע?

א) 18
ב) 20
ג) 36
ד) 45
54)

ראה תשובה

כדי לפתור בעיה זו, עלינו למצוא את מידות הבסיס והגובה של כניסת המנהרה, כמו הבעיה אומרת לנו ששטח החזית שווה ל 2/3 משטח המלבן עם הממדים האלה.

ערכים אלה יימצאו ממשוואת התואר השני שניתנה. הפרבולה של משוואה זו פוחתת בקיעור בגלל המקדם ה הוא שלילי. להלן מתווה של משל זה.

מהגרף אנו יכולים לראות כי מידת בסיס המנהרה תימצא על ידי חישוב שורשי המשוואה. כבר גובהו, יהיה שווה למדד הקודקוד.

כדי לחשב את השורשים, נצפה כי המשוואה 9 - x² אינו שלם, כך שנוכל למצוא את שורשיו על ידי השוואת המשוואה לאפס ובידוד ה- x:

לכן מדידת בסיס המנהרה תהיה שווה ל -6 מ ', כלומר המרחק בין שני השורשים (-3 ו -3).

כשמסתכלים על הגרף, רואים שנקודת הקודקוד מתאימה לערך על ציר y ש- x שווה לאפס, כך שיש לנו:

כעת, כשאנו יודעים את מדידות בסיס המנהרה וגובהה, אנו יכולים לחשב את שטחה:

חלופה ג: 36

4) Cefet - RJ - 2014

עבור איזה ערך של "a" יש למשוואה (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 שני שורשים ושווים?

עד 1
ב) 0
ג) 1
ד) 2

ראה תשובה

כדי שמשוואה מדרגה 2 תהיה בעלת שני שורשים שווים, יש צורך ש- Δ = 0, כלומר ב²-4ac = 0. לפני חישוב הדלתא, עלינו לכתוב את המשוואה בצורת גרזן² + bx + c = 0.

נוכל להתחיל ביישום הרכוש החלוקתי. עם זאת, נציין כי (x - 2) חוזר על עצמו בשני המונחים, אז בואו נגיד את זה כראיה:

(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0

כעת, בהפצת המוצר, יש לנו:

גַרזֶן² - 2x - 2ax + 4 = 0

חישוב ה- Δ ושווה לאפס, נגלה:

לכן כאשר a = 1, למשוואה יהיו שני שורשים שווים.

חלופה ג: 1

למידע נוסף, ראה גם:

• משוואה לתואר שני
• משוואת תואר ראשון
• פונקציה ריבועית
• פונקציה ריבועית - תרגילים
• פונקציה לינארית
• תרגילי פונקציה קשורים