או קבוצה של מספרים לא רציונליים נוצר על ידי המספרים ש לא יכול להיות מיוצג כ- שברים. במצבים מסוימים, מערך המספרים הרציונליים לא הספיק כדי לפתור בעיות, אז הבחינו בקיומם של מספרים לא רציונליים, כגון השורשים הלא מדויקים, המעשרות הלא תקופתיים,ה- π, בין אחרים.
קרא גם: מה הערך של ספרה?
קבוצה של מספרים לא רציונליים
לאורך ההיסטוריה, ביישום של משפט פיתגורס במשולש ימני של צלעות במדידה 1, התשובה נמצאה שווה לשורש המספר 2.
מתברר שהתשובה הפשוטה לכאורה הזו אפשרה לגלות חדשה סט מספרי. בניסיון למצוא את התשובה לכך מָקוֹר כיכר מתוך 2, מצא אחד מספר עשרוני ידוע כ מעשר לא תקופתי, מה זה בלתי אפשרי להיות מיוצג כשבריר. זה הצריך ליצור מערך חדש, ההיגויים, שכן, עד לאותו רגע, כל המספרים היו רציונליים (שניתן לכתוב כשבריר).
קבוצת המספרים הלא רציונליים מורכבת מכל המספרים ש לא ניתן לכתוב בצורה של שבר. |
מהם מספרים לא רציונליים?
כדי שמספר ייחשב כבלתי הגיוני, עליו לכבד את ההגדרה, כלומר, לא ניתן לייצג אותו כשבר. המספרים האלה הם שורשים לא מדויקים, בשעה מעשרות לא תקופתיות וכמה מקרים מיוחדים, כגון קבוע π (לקרוא: pi) או המספר ɸ (קרא: fi), בין היתר.
שורשים לא מדויקים
כאשר המספר אינו ריבוע מושלם, הוא מכונה שורש לא מדויק. ראה כמה דוגמאות:
מעשרות לא תקופתיות
כשאנחנו פותרים שורשים אלה, התשובה תהיה תמיד קירוב, מה שאנו מכנים מעשר לא תקופתי.
שימו לב שהחלק העשרוני הוא אינסופי ושאין נקודה, כלומר רצף שגורם ל אנו יכולים לחזות את המספר הבא בחלק העשרוני, ולכן אנו קוראים למספר זה עשרוני לא תְקוּפָתִי. לא רק העשרוניות שנוצרו על ידי שורשים לא מדויקים, אלא כל עשרוני לא תקופתי הוא מספר לא רציונלי.
מספרים לא רציונליים אחרים
• מספר π: שכיח למדי בחישובים הכוללים עקומות כגון שטח ואורך הֶקֵף או נפח צילינדרים ו קונוסים, והוא אחד המספרים הלא רציונליים הידועים ביותר. מכיוון שהוא לא רציונלי, אנו משתמשים בסמל כדי לייצג אותו, ובכל זאת π הוא עשרוני לא תקופתי, זה שלך ערך שווה ל- 3.14159265358979323846... ידועים כמה מקומות ממספר זה, אך בדרך כלל אנו משתמשים בקירוב עם הערך 3.14.
• מספר ɸ: ידוע גם בשם מספר זהב והוא נחקר מאז העת העתיקה, ותיאר תופעות טבע שונות, כגון רבייה של אוכלוסיות ארנבות. יש גם דוח על השימוש בשיעור זה ביצירות אמנותיות. זהו גם מספר לא רציונלי, ולכן הוא מיוצג על ידי הסמל ɸ, הערך שלו הוא: 1.61803398875 ...
• קבוע של אוילר: משמש לתופעות הקשורות ל מתמטיקה פיננסית, ובתחומי הביולוגיה, האסטרונומיה, בין היתר. זהו גם מספר לא רציונלי ולכן מיוצג על ידי הסמל ו, עם ערך של: 2.718281828459045235360 ...
ראה גם: מספרים ראשוניים - מספר טבעי שיש רק שני מפרידים
מספר רציונלי ולא הגיוני
מתברר כי כל מספר יכול להיות מסווג כהגיוני או לא רציונלי. באופן ישיר, או מספר ראציונאלי הוא כל מספר שניתן לכתוב כשבר. עשרוניות מדויקות, עשרוניות תקופתיות, מספרים שלמים הם מספרים רציונליים. המספרים הלא רציונליים, לעומת זאת, הם ההפך מזה, כלומר הם הם שלא ניתן לכתוב כשבריר, כפי שציינו, הם עשרוניים לא תקופתיים ושורשים לא מדויקים.
- דוגמא
המעשר 3.12121212... הוא תקופתי, שימו לב שבחלק העשרוני שלו יש נקודה, שהיא המספר 12, שתמיד חוזר על עצמו, לכן, המספר הזה הוא רציונלי.
המעשר 6,1249375... אינו תקופתי, שים לב שאין נקודה בחלק העשרוני שלה, מה שהופך את המספר הזה לא הגיוני.
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - איזה מהמספרים הבאים ניתן לסווג כלא רציונלי?
פתרון הבעיה
חלופה ג '.
א) אנו יודעים כי 25 הוא ריבוע מושלם, כלומר השורש הריבועי שלו שווה בדיוק ל- 5, ולכן זהו מספר רציונלי.
ב) בעת חישוב שורש 81 אנו יודעים שהתוצאה שלו היא 9, מה שהופך את המספר לרציונלי.
ג) ל- 10 אין שורש מרובע מדויק, כלומר זהו מספר לא רציונלי, מה שהופך את האלטרנטיבה C לנכונה.
ד) 5.1888 הוא מספר עשרוני מדויק, ולכן הוא רציונלי.
ה) 1.2323... הוא עשירית עם תקופה השווה ל 23, ולכן זהו מספר רציונלי.
שאלה 2 - לגבי מספרים לא רציונליים, שפט את ההצהרות הבאות כנכונות או כוזבות:
אני - כל שורש ריבועי הוא מספר לא רציונלי.
II - כל עשרון לא תקופתי הוא מספר לא רציונלי.
III - המספר ɸ והמספר π הם דוגמאות למספרים לא רציונליים.
על פי פסק הדין של המשפטים, נכון לקבוע כי:
א) ההצהרה היחידה שאני נכונה.
ב) רק אמירה II נכונה.
ג) רק האמירות II ו- III נכונות.
ד) רק ההצהרות I ו- II נכונות.
ה) כל ההצהרות נכונות.
פתרון הבעיה
חלופה ג '.
אני - שקר, שכן רק השורש הריבועי הלא מדויק הוא מספר לא רציונלי.
II - נכון. עשרוניות לא תקופתיות הן מספרים לא רציונליים.
III - נכון, מכיוון שהמספרים ɸ ו- π הם עשרוניים לא תקופתיים, לכן הם מספרים לא רציונליים.
