ניתוח ממדי: מה זה, איך זה משתלב באויב, תרגילים

ה ניתוח מימדי הוא כלי המאפשר חיזוי, בדיקה והתאמה של היחידות הפיזיקליות המשמשות לפתרון משוואות. בניתוח מימדי אנו מיישמים את היסודות של אַלגֶבּרָה על מנת לקבוע באיזה אַחְדוּתבמידה יש לבטא כמות מסוימת על מנת להבטיח הומוגניות בין הכמויות.

ניתוח ממדי צעד אחר צעד

באמצעות ניתוח מימדי ניתן לחזות מה תהיה יחידת המידה של כמות פיזית כלשהי שקשורה אליה פתרון הבעיה של בעיה כלשהי. לכן, הכרחי שנדע לפחות את יחידותיסודות לפיזיקה, המפורטים ב מערכת היחידות הבינלאומית (סִי).

מכמויות היסוד, כגון מטר, קילוגרם, שנייה ואחרות, אנו יכולים לכתוב את כל שאר הכמויות הנגזרות. הטבלה שלהלן מציגה כמה מיחידות ה- SI החשובות ביותר - חשוב להכיר אותן, בדוק אותן:

גְדוּלָה	יחידה (סמל - שם)
אורך	מ 'מטר
זְמַן	s - שנייה
פסטה	ק"ג - ק"ג
טֶמפֶּרָטוּרָה	K - קלווין
זרם חשמלי	A - אמפר

ניתוח ממדי של נוסחאות

בואו ללמוד כיצד לבצע ניתוח ממדי של א נוסחה פשוטה, כמו המהירות הממוצעת. המהירות הממוצעת מחושבת כיחס העקירה (ΔS) למרווח הזמן (Δt).

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

מתוך הכרת היחידות הבסיסיות של ה- SI, ניתן לזהות כי יש למדוד את העקירה במטרים (מ '), ואילו יש למדוד את מרווח הזמן בשניות. לפיכך, יש לתת את יחידת מדידת המהירות במטרים לשנייה (m / s), עיין באיור להלן:

ראה גם: בדוק תרגילים נפתרים על תנועה אחידה

בניתוח המימדי, שבוצע בעבר, הבין כי היה צורך לדעת את יחידות מרחק וזמןכדי שנוכל לחזות מה צריכה להיות יחידת המהירות. יתר על כן, מכיוון שהנוסחה הצביעה כי כמויות המרחק והזמן חולקו זו על ידי זו, יחידותיהן חולקו גם כן.

כמה נוסחאות או כמויות עשויות להיות קצת יותר חָרוּץ כדי לקבוע את היחידות שלהן, בדוק דוגמה בה נדרש שנכיר, בנוסף ליחידות, את הנוסחאות המאפשרות לנו לחשב את הכמויות שקשורות אליהן. ראה להלן הדוגמה של נוסחת הלחץ בה אנו רוצים לקבוע מהי יחידת P:

כדי למצוא את היחידה שבה ה- לַחַץ חייב להיות כתוב, על פי ה- SI, ראשית היה צורך לדעת את שלך נוּסחָה. לאחר מכן, נצטרך לדעת באיזו יחידה הגודל כוח בא לידי ביטוי ובמקרה שלא ידענו, יהיה צורך לדעת את הנוסחה שלה (F = ma), כדי למצוא את היחידה שלה.

לאחר מכן, היה צורך לזכור ששטחים נמדדים במ"ר. עם יחידות אלה ביד, אנו חוזרים לנוסחה ו אנו מחליפים כל סדר גודל עם היחידות שלהם בהתאמה ואנחנו מיישמים את כללי האלגברה: אנחנו עושים חלוקות ומכפלות בין היחידות כדי לפשט אותן עד כמה שניתן.

תפיסה חשובה בניתוח מימדי היא שניתן לכתוב יחידות מסוימות בשורה וזה נפוץ בתרגילים מסוימים ככל שהסימון הופך קומפקטי יותר. שימו לב לדוגמא הבאה, בה אנו מראים את ניתוח המימדים של כמות התאוצה:

ביצוע ניתוח המימד של ה- תְאוּצָה, אנו מגלים שהיחידה שלה היא מטר לשנייה בריבוע (m / s²), אולם ניתן לכתוב קומפקטית את היחידה הזו בפשטות גברת^-2.

ראה גם:הכל על תאוצה

קיימת גם האפשרות שיהיה צורך לקבוע עוד כמה פיזיות. מורכב, כמו בדוגמה שנראה בהמשך. בה נקבע את יחידת המידה של הכמות שנקראה חום ספציפי, בשימוש נרחב בחישובי קלורימטריה, בדוק:

בניתוח המימדי שהוצג, היה צורך לסדר מחדש את המשוואה כדי למצוא מה יהיה הביטוי לחום הספציפי ([c]). ברגע שזה נגמר, אנו ממשיכים לשנות את היחידות של כל כמות פיזית עד שנמצא שתי תשובות שונות: בכחול, יחידת החום הספציפית ל- SI, ובאדום, היחידה הרגילה של חום ספציפי.

יתכן שיש גם צורך לקבוע את יחידת המידה של חלקם גְדוּלָהבָּדוּי. במקרה זה נפרט דוגמה לכמות Y, הניתנת על ידי תוצר של אורך ([L]), שטח ([A]) ומרווח זמן ([t]), חלקי מסה ( [מ]).

כדי לקבוע את יחידת המידה של כמות זו, על פי ה- SI, יש לזכור כי יחידת האורך היא מטר (מ '), שיחידת השטח היא מטר מרובע (מ"ר), שיחידת הזמן היא השנייה / ים וכי יחידת המסה היא הק"ג (ק"ג). השיטה המשמשת לגילוי היחידה של Y נקראת עקרון ההומוגניות, כלומר על הצד השמאלי של המשוואה להיות באותה יחידה כמו הצד הימני.

המרת יחידות באמצעות ניתוח ממדי

באמצעות ניתוח מימדי ו התכתבות בין מערכות מדידה שונות, ניתן להפוך כמויות נגזרות כמו מהירות, תאוצה, כוח וכו '. כמויות נגזרות מורכבות משני כמויות פיזיקליות בסיסיות או יותר, ולעתים יש צורך להפוך אותן ליחידות אחרות. הדוגמה הנפוצה ביותר ליישום זה של ניתוח ממדי היא טרנספורמציה של המהירות הנמדדת במטר לשנייה לקילומטר לשעה ולהיפך.

המפתח לביצוע המרת יחידות זו בצורה נכונה הוא תמיד להכפיל את היחידה ב- 1 בצורה נוחה: שינוי יחידת המידה שלה מבלי לשנות את "הערך" שלה. לפיכך, למרות מציאת מדד אחר לכמות להמרה, הסקאלה שלה תישמר. בדוק דוגמה:

בהמרה שהוצגה, עלינו לזהות כי ק"מ אחד שווה ל- 1000 מ 'וכי שעה אחת שווה ל- 3600 שניות. לאחר מכן אנו מכפילים את ערך המהירות שנמדד בקילומטרים לשעה, ב- 1, כלומר 1000 מ 'חלקי 1 ק"מ ושעה חלקי 3600 שניות. באופן זה ניתן היה לשנות את היחידה ולגלות מה יהיה המודול של מהירות זו ביחידת מטרים לשנייה.

ראה גם: הכל על חוקי ניוטון

ניתוח ממדי ב- Enem

ישנן מספר סוגיות של Enem בהן יש צורך להשתמש בניתוח מימדי עבור ה- הֲמָרָהביחידות נכונה. עם זאת, השאלות של Enem לא יבהירו זאת לרוב. יהיה צורך להבין שהיחידות אינן עקביות, כלומר לא הומוגניות.

בדוק כמה דוגמאות לתרגילי Enem הכוללים ניתוח ממדי:

שאלה 1) המפה בצד מייצגת שכונה בעיר מסוימת, בה החצים מציינים את כיוון ידי התנועה. ידוע כי שכונה זו תוכננה וכי כל גוש המיוצג באיור הוא חלקה מרובעת, עם צלע השווה ל 200 מטר. בהתעלם מרוחב הרחובות, מה יהיה הזמן, בדקות, שאוטובוס, במהירות קבועה ושווה ל -40 קמ"ש, שיוצא מנקודה X, ייקח עד לנקודה Y?

א) 25 דקות

ב) 15 דקות

ג) 2.5 דקות

ד) 1.5 דקות

ה) 0.15 דקות

כדי לפתור תרגיל זה נשתמש בנוסחת המהירות הממוצעת. על פי ההצהרה, מהירות האוטובוס היא 40 קמ"ש ואנחנו רוצים לגלות את זְמַן הכרחי, ב דקות, כך שהוא עוזב את נקודה X ומגיע לנקודה Y, תוך כיבוד כיוונים לכל כיוון. לשם כך יהיה צורך לקבוע את המרחק אותו מכסה האוטובוס.

בניתוח כיוון החצים, אנו מגלים שהאוטובוס צריך לנוע דרומה, להזיז גוש אחד ואז הוא צריך לנוע מערבה, ללכת בלוק אחד, ואז להעביר עוד שני רחובות צפונה ואז גוש אחד ל מַעֲרָב. מאחר שכל גוש באורך 200 מ ', בסוף המסלול, האוטובוס ילך בסך הכל 1000 מ'. בואו נעשה את החישוב:

כדי לפתור את התרגיל, אנו הופכים תחילה את מהירות האוטובוס לקילומטרים לדקה. לאחר מכן מצאנו את תזוזתו בקילומטרים, תוך שימוש בניתוח ממדי והשוואה בין הכמויות. לבסוף, אנו מיישמים את הערכים שנמצאו בנוסחת המהירות הממוצעת.

ראה גם:הכל על המכניקה שנופלת באויב

שאלה 2) למרות שמדד מסת הגוף (BMI) נמצא בשימוש נרחב, עדיין קיימות מגבלות תיאורטיות רבות על השימוש בו ועל הטווחים הרגילים המומלצים. למדד המשקל ההדדי (RIP), על פי המודל האלומטרי, יש בסיס טוב יותר מתמטיקה, מכיוון שמסה היא משתנה של ממדים מעוקבים וגובה הוא משתנה של ממדים לינארי. הנוסחאות שקובעות אינדקסים אלה הן:

אם לילדה, עם 64 ק"ג מסה, יש BMI השווה ל- 25 ק"ג / מ '², כך שיש לו RIP השווה ל:

א) 0.4 ס"מ / ק"ג^1/3

ב) 2.5 ס"מ / ק"ג^1/3

ג) 8 ס"מ / ק"ג^1/3

ד) 20 ס"מ / ק"ג^1/3

ה) 40 ס"מ / ק"ג^1/3

כדי להתחיל בפתרון תרגיל זה, עלינו לבצע ניתוח ממדי של שתי הכמויות, ה- BMI וה- RIP:

כפי שאנו מכירים את ה- BMI והמסה של הילדה, קל למצוא את גובהה. לאחר מכן, אנו פשוט מיישמים ערכים אלה בנוסחת RIP, והופכים את גובה הילדה לסנטימטרים על מנת לחשב אותו.

ראה גם: בדוק כיצד ללמוד פיזיקה למבחן האויב

תרגילים נפתרו

שאלה 1) קבע את ממד הכמות הפיזית X, המוגדרת על ידי הממדים המוצגים להלן, על פי מערכת היחידות הבינלאומית:

א) מ^-²s¹kg^-²

ב) מ"ר ק"ג^-²

ג) מ"ר ק"ג^-3

ד) מ"ר^-ק"ג^-²

ה) מ"ר ק"ג^-1

מָשׁוֹב: אות ב '

פתרון הבעיה:

כדי לפתור את התרגיל, עלינו לזכור כי L מייעד את אורך הכמות, המוגדר במטרים, T הוא משמש לייעוד כמות הזמן, הנמדדת בשניות, ו- M משמשת לייעוד כמות המסה, הנמדדת ב קילוגרמים. באופן זה, מספיק להחליף כמויות אלה בממדיהן בהתאמה:

על ידי כתיבת יחידה זו בשורה, תהיה לנו התוצאה הבאה: מ"ר. kg^-2.

שאלה 2) קבע מה צריכה להיות יחידת הקבוע האלקטרוסטטי k₀, על פי חוק קולומב:

כאשר Q ו- q נמדדים ב- C - Coulomb, d הוא המרחק הנמדד ב- m - מטרים ו- F הוא הכוח החשמלי, הנמדד ב- N - Newton. אז, כדי למצוא את היחידה של k₀, עלינו לבצע את ניתוח המימדים הבא:

לכן, על פי ניתוח המימדים שבוצע, יחידת המידה של הקבוע הקבוע היא ה- Nm².Ç^-2.

על ידי רפאל הלרברוק