מרסן, מספרים ראשוניים ומספרים מושלמים

אנו אומרים שמספר טבעי מושלם אם הוא שווה לסכום כל גורמיו (המחלקים), למעט עצמו. לדוגמה, 6 ו- 28 הם מספרים מושלמים, ראה:
6 = 1 + 2 + 3 (גורמים 6: 1, 2, 3 ו- 6), אנו לא כוללים את המספר 6.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (גורמים 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), אנו לא כוללים את 28.
מספרי מרסן הם אלה בצורת Mn = 2n - 1. הוא אפילו חשב שהביטוי הזה יצליח לחשב ראשוניים אפשריים בהתחשב ב- n = פריימים, אך מאוחר יותר התברר שהוא כמעט צודק. לדוגמה:
M1 = 21 – 1 = 1
M2 = 22 - 1 = 3 → n = 2 (בן דוד), מ2 = 3 (בן דוד)
M3 = 23 - 1 = 7 → n = 3 (בן דוד), מ3 = 7 (בן דוד)
M4 = 24 – 1 = 15
M5 = 25 - 1 = 31 → n = 5 (בן דוד), מ5 = 31 (בן דוד)
M6 = 26 – 1 = 63
M7 = 27 - 1 = 127 → n = 7 (בן דוד), מ7 = 127 (בן דוד)
M8 = 28 – 1 = 255
M9 = 29 – 1 = 511
M10 = 210 – 1 = 1023
M11 = 211 - 1 = 2047 → n = 11 (בן דוד), מ11 = 2047 (לא ראשוני)
M13 = 213 - 1 = 8191 → n = 13 (בן דוד), מ13 = 8191 (בן דוד)
בתוך רצף המספרים הראשוניים ישנם אלמנטים שהוחלו בנוסחת מרסן לא יוצרים אלמנטים ראשוניים, למשל המספר 11, כאשר הוחל על הנוסחה הביא ל- 2047, מספר לא בת דודה.


הידע של מספרים מושלמים מיוחס לאוקלידס, המתמטיקאי היווני המפורסם שהקים את הגיאומטריה. השיטה בה הוא משתמש מתחילה עם הוספת כוחות של 2 לפריים. לאחר מכן מתקבל מספר מושלם על ידי הכפלת הסכום בכוח האחרון של 2.

שימו לב ליחס בין המספר המושלם למספרים הראשוניים של מרסן.

מאת מארק נח
בוגר מתמטיקה
צוות בית הספר בברזיל

סטים מספריים - מתמטיקה - בית ספר ברזיל

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm

מקצועות בסיכון: מי יכולים להיות הנפגעים הבאים של המודרניזציה?

ההתקדמות המתמדת של הטכנולוגיה השפיעה על קריירות רבות, והפכה חלקן לפחות נחוצות. על פי הדו"ח "העתיד...

read more

המילים הכי גדולות בעולם

מי מעולם לא היה בספק כיצד לכתוב מילה מסוימת, או בצורת הכתיבה, ההדגשה והצימוד שלה. שפות רבות מביאו...

read more

ב-25% מהמקצועות, נשים וגברים מרוויחים שכר זהה

מבין 600 מקצועות ברמות הכשרה שונות, 90 משלמים טוב יותר לנשים. במקרים אלו הם מרוויחים לפחות 5% יות...

read more