שקול את משוואת פולינום למטה שם כל המקדמים הלאהם מספרים שלמים:
הלאאיקסלא + הn-1איקסn-1 + הn-2איקסn-2 +... + ה2איקס2 + ה1x + a0 = 0
או משפט שורשים רציונלי מבטיח שאם משוואה זו מודה במספר הרציונלי פ/מה כשורש (עם פ
, מה 
ו mdc (p, q) = 1), לאחר מכן ה0 ניתן לחלוקה על ידי פ ו הלא ניתן לחלוקה על ידי מה.
הערות:
1º) משפט השורשים הרציונלי אינו מבטיח שלמשוואת הפולינום יש שורשים, אך אם הם קיימים, המשפט מאפשר לנו לזהות כל השורשים של המשוואה;
2º) אם הלא= 1 והמקדמים האחרים הם כולם מספרים שלמים, למשוואה יש רק שורשים שלמים.
3°) אם q = 1 ויש שורשים רציונליים, אלה שלמים ומחלקים של ה0.
יישום משפט השורשים הרציונלי:
בואו נשתמש במשפט כדי למצוא את כל שורשי המשוואה הפולינומית 2x4 + פי 53 - פי 112 - 20x + 12 = 0.
ראשית, בואו נזהה את השורשים הרציונאליים האפשריים של משוואה זו, כלומר שורשי הצורה פ/מה. על פי המשפט, ה0 ניתן לחלוקה על ידי P; בדרך זו, איך ה0 = 12ואז הערכים האפשריים של פ הם {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. באופן אנלוגי, אנחנו חייבים הלא ניתן לחלוקה על ידי מה ו הלא = 2, לאחר מכן מה יכולות להיות הערכים הבאים: {± 1, ± 2}. לכן, חלוקת הערכים של
פ לְכָל מה, אנו מקבלים ערכים אפשריים פ/מה שורשי המשוואה: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.כדי לאשר שהערכים שמצאנו הם באמת השורש של משוואת הפולינום, בואו נחליף כל ערך במקום ה איקס של המשוואה. דרך חשבון אלגברי, אם הפולינום גורם ל אֶפֶס, כך שהמספר המחליף הוא למעשה שורש המשוואה.
2x4 + פי 53 - פי 112 - 20x + 12 = 0
עבור x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
עבור x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
עבור x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
עבור x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
עבור x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
עבור x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
עבור x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
עבור x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
עבור x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
עבור x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
עבור x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
עבור x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
עבור x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
עבור x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
עבור x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
עבור x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
לכן, שורשי המשוואה הפולינומית 2x4 + פי 53 - פי 112 - 20x + 12 = 0 הם {– 3, – 2, ½, 2}. דרך משפט פירוק פולינומי, נוכל לכתוב את המשוואה הזו כ- (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
מאת אמנדה גונסאלבס
בוגר מתמטיקה
האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:
RIBEIRO, אמנדה גונסאלבס. "משפט שורשים רציונלי"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. גישה אליו ב -28 ביוני 2021.
