פולידרה: מה הם, אלמנטים, תכונות

פולידרה (מלטינית פולי - רבים - ו נהנתן - פנים) הם דמויותתלת ממד נוצר על ידי איחוד מצולעים רגילים, שבהם זוויות הפוליהדר הם תואמים. האיחוד של מצולעים אלה יוצר אלמנטים המרכיבים את רב העדר, הם: קודקודים, קצוות ו פרצופים. עם זאת, לא כל דמות תלת מימדית היא פולידרון, דוגמא לכך הן דמויות שיש להן פנים מעוקלות גופים עגולים.

יש נוסחה מתמטית המתייחסת לאלמנטים של רב-כיוון הנקראת מערכת היחסים של אוילר. בנוסף, פולי-ידרה נחלקות לשתי קבוצות: מה שמכונה ריבוי-רב קָמוּר וה לא קמור. לחלק מהרבויות מגיע תשומת לב מיוחדת, הם נקראים פוליאתרה של אפלטון: אַרְבָּעוֹן, משושה, אוקטהדרון, דודקהדרון ו איקוזהדרון.

קרא גם: הבדלים בין דמויות שטוחות ומרחביות

פולידרה קמורה

רב-כיוון יהיה קמור כשהוא נוצר על ידי מצולעים קָמוּר, כך שהתנאים הבאים יתקבלו:

1. שניים מהמצולעים לעולם לא הם מישוריים, כלומר, הם לא שייכים לאותו מישור.
2. כל צד של אחד מצולעים אלה שייך לשני מצולעים בלבד.
3. המישור שמכיל כל אחד מהמצולעים הללו משאיר את המצולעים האחרים באותו חצי חלל.

קרא גם:סכום הזוויות הפנימיות והחיצוניות של מצולע קמור

אלמנטים של פולידרון קמור

שקול פולידרון קמור זה:

אתה רביעיות באיור נקראים פרצופים של רב-העדר.

אתה מחומשות הם הפנים ובסיס המולדרדר, אשר נקרא בשם רב-כיוון בסיס מחומש.

הקטעים היוצרים כל אחד מהפנים נקראים קצוות של רב-העדר.

הנקודות בהן הקצוות נפגשים נקראות קודקודים.

קטע הקו JC ייקרא אֲלַכסוֹנִי של הרבייה, המסומן על ידי:

JC הוא אחד האלכסונים, אנו מבינים אֲלַכסוֹנִי של רב-העדר כישות קטע הקו המצטרף לשני קודקודים שאינם שייכים לאותו פרצוף.

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

יש לנו גם את הזווית הרב-כיוונית, שנוצרה בין הקצוות, המסומנת על ידי:

זווית רב-כיוונית נקראת a משולש מתי שְׁלוֹשָׁה הקצוות מקורם בקודקוד. כמו כן, זה נקרא טטראדרלי, מקרה ארבע הקצוות מקורם בקודקוד וכן הלאה.

מעתה ואילך נקבע כמה סימונים, והם:

יודע יותר: תכנון מוצקים גיאומטריים

מאפיינים של פולידרון קמור

• נכס 1

סכום הקצוות של כל הפנים שווה למספר כפול של קצוות המולדרדר.

דוגמא

רב-כיוון בעל 6 פרצופים מרובעים. בואו נקבע את מספר הקצוות.

על פי המאפיין, פשוט הכפל את מספר הקצוות של הפנים במספר הפנים, וזה שווה למספר הקצוות כפול. לכן:

• נכס 2

סכום קודקודי כל הפנים שווה לסכום הקצוות של כל הפנים, השווה למספר כפול של הקצוות.

דוגמא

פולידרון עם 5 זוויות טטרהדרליות ו -4 זוויות משושה. בואו נקבע את מספר הקצוות.

אנלוגית לדוגמא הקודמת, המאפיין השני אומר כי סכום הקצוות של כל הפנים שווה למספר כפול של הקצוות. מספר הקצוות ניתן על ידי התוצר של 5 על 4 ו -4 על 6, שכן הם 5 זוויות טטראדרליות ו -4 זוויות משושה. לכן:

פוליאתרה קעורה (לא קמורה)

פולידרון אינו קמור, או קעור, כאשר אנו לוקחים שתי נקודות על פנים שונות והישר ר שמכיל נקודות אלה לא כלול בפולידרון.

שים לב שהקו הישר (בכחול) אינו שלם במולדרון, ולכן המילדרדרון (בוורוד) הוא קעור או לא קמור.

פולידרה רגילה

אנו אומרים כי פולידרון הוא קבוע כאשר הפנים שלך הם מצולעים רגילים שווים זה לזה ועם זוויות רב-כיווניות זהות זה לזה.

ראה כמה דוגמאות:

שימו לב שכל הפרצופים שלכם הם מצולעים רגילים. פניו נוצרו על ידי ריבועים והקצוות כולם חופפים, כלומר יש להם אותה מידה.

לקרואגַם: מהם מצולעים רגילים וקמורים?

מערכת היחסים של אוילר

מוכר גם בשם משפט אוילר, התוצאה הוכחה על ידי לאונהרד אוילר (1707 - 1783) ומבטיחה כי בשנת כולם רב-קדר קמור סגור הקשר הבא תקף:

הפוליהדרה של אפלטון

כל פולידרון העומד בתנאים הבאים נקרא פולידרון של אפלטון:

1. יחס אוילר תקף

2. לכל הפרצופים יש אותו מספר קצוות

3. לכל הזוויות הרב-כיווניות יש אותו מספר קצוות

הוכח שיש רק חמש פולי-כימה רגילה וקמורה, או פולי-חדרה של אפלטון:

• טטרהדרון רגיל

לטטרהדרון יש 4 פרצופים משולשים חופפים ו 4 זוויות משולשות חוֹפֵף.

• משושה רגיל

למשושה יש 6 פרצופים מרובעים חופפים ו 8 זוויות משולשות חוֹפֵף.

• מתומן רגיל

לאוקטורה יש 8 פרצופים משולשים חופפים ו 6 זוויות טטראדרליות חוֹפֵף.

• דודקהדרון רגיל

לדוד-הדרדר יש 12 פרצופים מחומשים חופפים ו 20 זוויותמשולש חוֹפֵף.

• איקוזהדרון רגיל

לאיקוסהדרון יש 20 פרצופים משולשים חופפים ו 12 זוויות פנטהדרליות חוֹפֵף.

תרגילים נפתרו

1) (אויב) תכשיט נחתך בצורת פולידרון קמור בן 32 פנים, 20 מהם משושה והיתר מחומשים. תכשיט זה יהווה מתנה לגברת החוגגת את יום הולדתה, ולהשלים גיל שמספרו הוא קודקודי הפולידרון הזה. הגברת הזו משלימה:

א) 90 שנה

ב) בן 72

ג) בן 60

ד) בן 56

ה) בן 52

פִּתָרוֹן:

נותן נכס 1 של רב קומות קמורות אנו יודעים כי:

עכשיו איך אנו יודעים את מספר הקצוות זה ה מספר הפרצופים, אנו יכולים להשתמש ביחס אוילר.

מכיוון שהגיל שאתה משלים שווה למספר הקודקודים, אז זה 60 שנה. חלופה ג.

2) (PUC-SP) כמה קצוות עושה פולידרון קמור עם פנים משולשים שמספר הקודקודים הוא שלוש חמישיות ממספר הפנים?

א) 60

ב) 30

ג) 25

ד) 20

ה) 15

פִּתָרוֹן:

מהתכונות של רב-כיוון קמור והצהרת התרגיל יש לנו:

החלפת ערכים אלה ביחס אוילר, יש לנו את הדברים הבאים:

בארגון המשוואה הקודמת ופתרון המשוואה ב- F, נובע מכך:

החלפת הערך של מספר הפנים שנמצאו במשוואת הקצוות, יהיה לנו:

חלופה ב

מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:

לואיז, רובסון. "פוליהדרה"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poliedros.htm. גישה אליו ב -27 ביוני 2021.