פונקציה מדרגה שנייה או פונקציה ריבועית

ה פונקציה מדרגה שנייה או פונקציה ריבועית הוא כיבוש תחום אמיתי, כלומר מספר ממשי יכול להיות ה איקס ולכל מספר אמיתי x אנו משייכים מספר מהצורה ax² + bx + c.

במילים אחרות, הפונקציה הריבועית f מוגדרת על ידי:

נראה בהמשך כיצד לחשב סוג זה של פונקציה, ונזכיר את הנוסחה של בהאסקרה למציאת שורשי הפונקציה, מלבד ידיעת סוג הגרף, מרכיביו וכיצד לצייר אותו בהתבסס על פרשנות הנתונים שהושגה על ידי פִּתָרוֹן.

הפונקציה הריבועית יוצרת פרבולה במישור קרטזי.

מהי פונקציה לתואר שני?

פונקציה f: R à → נקראת פונקציה מדרגה שנייה או פונקציה ריבועית כאשר יש a, b, c € R עם ≠ 0, כך f (x) = גרזן² + bx + c, עבור כל x € R.

דוגמאות:

• f (x) = 6x² - 4x + 5 → ה = 6; ב = -4; ç = 5.
• f (x) = x² - 9 → ה = 1; ב = 0; ç = -9.
• f (x) = 3x² + פי 3 → ה = 3; ב = 3; ç = 0.
• f (x) = x² - x → ה = 1; ב = -1; ç = 0.

עבור כל מספר אמיתי איקס, עלינו להחליף ולבצע את הפעולות הנדרשות ל מצא את התמונה שלך. ראה את הדוגמה הבאה:

בואו נקבע את התמונה של המספר האמיתי -2 של הפונקציה f (x) = 6x² - 4x + 5. לשם כך, פשוט החלף את המספר האמיתי שניתן בפונקציה, כך:

f (-2) = 6 (-2)² – 4(-2) +5

f (-2) = 6 (4) + 8 +5

f (-2) = 24 + 8 + 5

f (-2) = 37

לפיכך, התמונה של המספר -2 היא 27, וכתוצאה מכך הזוג המוזמן (-2; 37).

קרא גם: משוואת מדרגה 2: המשוואה שיש לה ידוע על אקספוננט 2

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

גרף של הפונקציה הריבועית

כאשר משרטטים את גרף פונקציות ריבועיות, מצאנו עקומה, אותה נקרא מָשָׁל. שֶׁלְךָ קיעור תלוי במקדםה של פונקציה f. כאשר לפונקציה יש את המקדם ה גדול מ- 0, הפרבולה תהיה קעורה כלפי מעלה; כאשר המקדם ה הוא פחות מ -0, הפרבולה תהיה קעורה למטה.

שורשי הפונקציה הריבועית

שורשי פונקציה ריבועית מספקים את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם צירי הפונקציה. מטוס קרטזיאני. כאשר אנו רואים פונקציה ריבועית של הצורה y = ax² + bx + c ואנחנו בתחילה לוקחים את x = 0בואו נמצא את הצומת עם ציר O_י. עכשיו אם ניקח את y = 0בואו נמצא את הצומת עם ציר O_איקס,כלומר שורשי המשוואה מספקים את הצומת עם ציר ה- X. ראה דוגמה:

א) y = x² - פי 4

ניקח את x = 0 ונחליף אותו לפונקציה הנתונה. אז, y = 0² – 4 (0) = 0. שימו לב שכאשר x = 0, יש לנו y = 0. אז יש לנו את הצמד הבא שהוזמן (0, 0). זוג מסודר זה נותן את יירוט ה- y. כעת, אם לוקחים y = 0 ומתחלפים לפונקציה, נקבל את הדברים הבאים:

איקס² - 4x = 0

x. (x - 4) = 0

x '= 0

x '' - 4 = 0

x '' = 4

לכן, יש לנו שתי נקודות חיתוך (0, 0) ו- (4, 0), ובמישור הקרטזיאני יש לנו את הדברים הבאים:

הבנו שנוכל להשתמש במערכת היחסים של בהאסקרה כדי למצוא את אפסי הפונקציה. בכך אנו מקבלים כלי חשוב מאוד: בהסתכלות על המפלה נוכל לדעת בכמה מקומות הגרף חוצה את ציר ה- X.

• אם הדלתא גדולה מאפס (חיובי), הגרף "חותך" את ציר ה- x לשתי נקודות, כלומר יש לנו x 'ו- x' '.
• אם הדלתא שווה לאפס, הגרף "חותך" את ציר ה- x בנקודה, כלומר x '= x' '.
• אם הדלתא קטנה מאפס (שלילי), הגרף אינו "חותך" את ציר ה- x מכיוון שאין שורשים.

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - ניתנת לפונקציה f (x) = -x² + 2x - 4. לקבוע:

א) הצומת עם ציר O_י.

ב) הצומת עם ציר O_איקס.

ג) שרטט את גרף הפונקציה.

פִּתָרוֹן:

א) לקביעת הצומת עם ציר O_י , פשוט קח את הערך של x =

ב) 0. -(0)² +2(0) – 4

0 + 0 – 4

-4

אז יש לנו את הזוג שהוזמן (0, -4).

ג) כדי למצוא את הצומת עם ציר O_איקס, פשוט קח את הערך של y = 0. לכן:

-איקס² + 2x - 4 = 0

בשיטת בהסקארה עלינו:

Δ = ב² - 4ac

Δ = (2)² - 4(-1)(-4)

Δ = 4 - 16

Δ = -12

מכיוון שערכו של המפלה הוא פחות מאפס, הפונקציה אינה חותכת את ציר ה- X.

ד) לשרטוט הגרף עלינו להתבונן בנקודות הצומת ולנתח את קעירות הפרבולה. מכיוון ש <0, הפרבולה תהיה קעורה כלפי מטה. לכן:

מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה

חישב את הערך של k כך שלפונקציה f (x) = 4x² - 4x - k אין שורשים, כלומר לגרף הפרבולה אין נקודה משותפת לציר ה- x.

קבע את הערכים של m כך שהפונקציה f (x) = (m - 2) x² - 2x + 6 תורש שורשים אמיתיים.