טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה היא מילה ממוצא יווני המתייחסת למידה של שלוש זוויות. הלימודים בתחום זה במתמטיקה מתמקדים משולשים, שהם מצולעים שיש להם שלושה צדדים, וכתוצאה מכך, שלוש זוויות. בהתחלה, טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה היא עוסקת בחקר כמה מאפיינים ויחסים של משולשים ימניים כדי לקשר מאוחר יותר את המדידות של צידי המשולשים עם מדידות הזוויות.
מאפיינים וקשרים אלה מורחבים לכל משולש באמצעות משפטים המכונים חוק החטאים ו חוק קוסינוס. מאוחר יותר, חלק מהתוצאות הללו נצפות במשולשים שצידיהם הם מקטעים בולטים של מעגל, המכונה "מעגל טריגונומטרי".
ה טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה מציע חידוש נהדר. לפניו ניתן היה לשקול רק חישובים ותכונות הכוללים צלעות או זוויות משולש בלעדיות או קשרים בסיסיים בין אלמנטים אלה. עם הגעתו, ניתן לקשר ישירות את מידות צלעות המשולש למדידת אחת הזוויות שלו. ראוי לציין כי היחסים בין הצדדים והקטעים הבולטים בתוך משולש מהווים גם את טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה.
לפני שמתעמק במושג טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה, חשוב לדעת מהם האלמנטים החשובים ביותר במשולש נכון. אלמנטים אלה מפורטים להלן:
אלמנטים של משולש ימני
ניתן לחלק כל משולש ימני לשני משולשים ימניים אחרים, כפי שמוצג באיור למטה, תוך התחקות אחר הגובה "h" ביחס לבסיס "a".
גובה המשולש הימני הזה יוצר שתי זוויות של 90 מעלות עם בסיסו
בהתחשב במשולש ABD, מלבן ב- B, ניתן לצפות באלמנטים הבאים:
1 - הצדדים AB ו- BD נקראים צדדים והמידות שלהם הן c ו- b, בהתאמה;
2 - הצד של AD נקרא hypotenuse והמדידה שלו היא a. צד זה תמיד יהיה מנוגד לזווית של 90 °;
3 - BE הוא גובה המשולש ABD ביחס לבסיס AD ומדידתו היא h. (לזכור שהגובה תמיד יוצר זווית של 90 ° עם הבסיס ביחס אליו);
4 - AE הוא ההשלכה האורתוגונלית של רגל ה- AB מעל ההיפוטנוזה. מידתו היא מ ';
5 - ED הוא ההשלכה האורתוגונלית של רגל BD מעל ההיפוטנוזה. המדידה שלה היא n.
לאחר מכן, אנו מציגים ודנים בכמה מאפיינים הנראים בטריגונומטריה, בהתבסס על יסודות המשולש הימני שנחשף לעיל.
יחסים מטריים במשולש הימני
הם שווים המתייחסים לצדדים, לגובה ולהשלכות אורתוגונליות של משולש ימני:
1) ג2 = ממוצע
2) b · c = a · h
3) ח2 = m · n
4) ב2 = לא
5) ה2 = ב2 + ג2 (משפט פיתגורס)
יחסים טריגונומטריים או יחסים במשולש הימני
שוויון זה מתייחס ליחסים בין צלעות משולש ימין לאחת הזוויות החדות שלו. לשם כך, יש צורך לתקן אחת משתי הזוויות ולצפות במשולש הימני בהגדרות הצד הנגדי והצד הסמוך:
משולש מלבן, המדגיש את זווית α
BD הוא ה- רגל הנגדית לזווית α;
AB הוא ה- רגל סמוכה לזווית α.
אלה התנאים המוקדמים להגדרת ה- יחסים טריגונומטריים. האם הם:
→ סינוס של α
חטא α = קטטוס מול α
אֲלַכסוֹן
→ קוסינוס של α
cos α = קטטו הסמוכה ל- α
אֲלַכסוֹן
→ משיק של α
tg α = קטטוס מול α
קטטו הסמוכה ל- α
סיבות אלה חלות על כל אחת מהן משולש ישר זווית שיש לה זווית חדה השווה ל- α. התוצאה של חלוקות אלו היא תמיד זהה, ללא קשר לאורך הצד של המשולש, כשני משולשים בעלי שתי זוויות שוות, בשל דמיון משולש זווית-זווית, יש צדדים פרופורציונליים. מכאן יוצא שהיחס בין הצדדים שווה.
מעגל טריגונומטרי
נקרא גם מחזור טריגונומטרי או מעגל טריגונומטרי (שמות נכונים יותר אך פחות נפוצים), זהו מעגל מכוון של רדיוס 1. על היקף זה, א משולש ישר זווית, שזוויתו α עולה בקנה אחד עם המקור, כך שגובה המשולש הזה עובר מציר הבסיסים לקצה המעגל.
גובה זה עולה בקנה אחד עם הערך של סינוסכי זה הצד ההפוך לזווית α. המידה שעוברת מהנקודה בה הגובה פוגש את ציר האבסיסה למקור חופפת לצד הצמוד לזווית α, כלומר לערך של קוסינוס.
צירופי מקרים אלה מתרחשים מכיוון שההיפוטנוז הוא תמיד 1, מכיוון שהוא רדיוס המעגל. שימו לב למאפיינים אלה בתמונה למטה:
מעגל רדיוס 1 עליו מונח משולש ימני להערכת תכונותיו
לא משנה מה המשולש הנכון שנבנה על המעגל ההוא, הצד החופף לחלק של ציר הבסיס מודד בדיוק את הערך הקוסינוס של α והצד השני מודד בדיוק את הסינוס של α.
פונקציות טריגונומטריות
באמצעות המעגל הטריגונומטרי ניתן להגדיר פונקציות טריגונומטריות המתייחסים לכל אלמנט ממכלול המספרים האמיתיים לאלמנט בודד גם למערך המספרים האמיתיים. עם זאת, מספרים אלה באים לידי ביטוי ברדיאנים, שהיא יחידת מידה כפונקציה של π המשמש כי לאחר 360 מעלות בתוך מעגל טריגונומטרי, ניתן להפעיל מחדש את ספירת המעלות וכתוצאה מכך את האלמנטים של התחום ונגד התחום של פונקציה המבוססת עליה.
יחסים בסיסיים
היחסים הבסיסיים של טריגונומטריה הם:
1) יחסי יסוד 1
סנט2α + cos2α = 1
2) משיק של α
tg α = חטא α
cos α
3) קוטנגנט של α, שהוא ההפוך משיק של α
cotg α = cos α
חטא α
4) סוד של α, שהוא ההפוך של הקוסינוס של α
שניות α = 1
cos α
5) שורש של α, שהוא ההופכי של הסינוס של α
cossec α = 1
חטא α
6) קשר שנוצר 1
tg2α + 1 = שניות2α
7) קשר 2
cotg2α + 1 = cossec2α
8) קשר חוזר 3
cotg α = 1
tg α
מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm