ה מתמטיקה פיננסית הוא אחד מתחומי המתמטיקה האחראיים על הלימוד תופעות הקשורות לעולם הפיננסי. בנוסף, לימוד המושגים שלהם חשוב מאוד מכיוון שבחיי היומיום שלנו הם הולכים ומתרבים מתנות נוספות, למשל, כאשר אנו מקבלים הנחה בקניית משהו במזומן או תוספת בעת קניית משהו תשלומים.
לימודי מתמטיקה פיננסית דורשים ידע מוקדם בנושא אֲחוּזִים, נראה כי כל המושגים מבוססים על נושא זה.
קרא גם:אחוז חישוב עם כלל שלוש
לשם מה מתמטיקה פיננסית?
מתמטיקה פיננסית משמשת מדי יום, למשל כאשר אנו הולכים לבצע רכישה במזומן והמוכר מציע הנחה 5% מערך המוצר, או כאשר אנו בוחרים לרכוש מוצר בתשלומים, ובתהליך זה, א שער ריבית זה מחויב לקונה לאורך זמן.
דוגמה לחשיבות הבנת המושגים של מתמטיקה פיננסית נקראת מגבלת משיכת יתר. בפתיחת חשבון בבנק מסוים מוצע כסף "נוסף", למקרי חירום, למשל. עם זאת, כאשר משתמשים במגבלה זו או בחלק ממנה, גובה תשלום שישולם מאוחר יותר, בנוסף לכסף שנלקח. שיעור זה נקרא ריבית, ועל ידי הבנה טובה יותר של מושגים אלה, אנו יכולים לתכנן אסטרטגיה טובה יותר לניהול הכספים שלנו.
דוגמה 1
אדם זקוק למאה ריאל כדי לסיים את החשבונות החודשיים, אולם כל משכורתם כבר הוצאה על החשבונות האחרים. בניתוח, אדם זה מצא כי יש לו שתי אפשרויות.
אופציה 1 - השתמש במגבלת החיוב המוצעת על ידי הבנק, בשיעור של 0.2% ליום, לתשלום בחודש אחד.
אפשרות 2 - קבל את ה- 100 רייס מחבר, בשיעור של 2% לחודש, שישולם עבור חודשיים.
בעזרת הידע באחוזים בלבד, בואו ננתח מהי האפשרות הטובה ביותר.
ניתוח ה - אופציה 1, שימו לב שהשיעור של 0.2% מחויב ביום, כלומר 0.2% מסכום ההלוואה מתווסף מדי יום, כך:
כיצד יש לשלם את ההלוואה בחודש, ובהתחשב בחודש עם 30 ימים, סכום הריבית שישולם הוא:
0,2 ·30
6
לפיכך, אנו יכולים להסיק כי הסכום שישולם בסוף חודש הוא:
100 + 6= 106 רייס
100 → הסכום שהושאל על ידי הבנק
6 → סכום ריבית
כעת מנתח את אפשרות 2, העמלה הנגבית היא 2% לחודש ויש לשלמה תוך חודשיים, כלומר בכל חודש, 2% מהסכום המושאל מתווסף לחוב, כך:
שימו לב כי יש להוסיף לסכום החוב 2 ריאלים בחודש:
2 · 2 = 4
לכן הסכום שישולם בסוף התקופה הוא:
100+ 4 = 104 reais
100 → הסכום שהושאל על ידי החבר
4 → סכום ריבית
לכן, אנו יכולים להסיק שהאפשרות הטובה ביותר היא לקחת את הכסף עם החבר. זה פשוט וחשוב יישום מתמטיקה פיננסיתכמובן שיש בעיות, כלים ומושגים מתוחכמים יותר, אך כמו כל דבר אחר בחיים, לפני שמבינים את החלק המורכב, יש צורך להבין את היסודות.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
יסודות המתמטיקה הפיננסית
המושגים העיקריים של מתמטיקה פיננסית כוללים ידע קודם על אחוזים. לאחר מכן נראה מושגים כמו תוספת, הנחה, ריבית פשוטה וריבית דריבית.
חיבור
רעיון התוספת קשור ל הוסף או הוסף חלק מהערך לערכו המקוריכלומר אנו מוסיפים לעצמו אחוז מערך מסוים. ראה את הדוגמה:
דוגמה 2
מוצר עלה 35 ריי, עם עליית הדולר הוא עלה ב -30%. קבע את הערך החדש עבור מוצר זה.
לעתים קרובות, כשאנחנו הולכים לעשות את החישובים הקשורים לתוספת, הם מבוצעים בצורה לא נכונה על ידי כתיבה:
35 + 30%
האחוז מייצג חלק ממשהו, אז כדי שהחשבון הזה יהיה נכון, עלינו לחשב תחילה 30% מהערך ההתחלתי, במקרה זה 35. לכן:
35 + 30% מתוך 35
על ידי פתרון תחילה של האחוז ואז הוספת הערכים, נצטרך:
לכן, בתוספת, הערך במוצר יהיה 45.5 רייס (ארבעים וחמישה רייס וחמישים סנט).
באופן כללי, אנו יכולים להסיק א נוסחה לתוספת. שקול ערך x וכי הוא עובר עלייה של p%. על פי מה שהגדרנו זה עתה, אנו יכולים לכתוב תוספת זו באופן הבא:
x + p% של x
בפיתוח ביטוי זה, נצטרך:
בואו נעשה שוב דוגמה 2 בעזרת הנוסחה שלעיל. שימו לב ש- x = 35 ושהעלייה הייתה 30%, כלומר p = 30%.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
שים לב שאותו ערך הושג, וזו אפשרות להשתמש בנוסחה כזו.
ראה גם: כמויות פרופורציונליות הפוכות
הנחה
רעיון ההנחה דומה לרעיון ההוספה, ההבדל היחיד הוא שבמקום להוסיף עלינו להחסיר אחוז מהסכום המקורי.
דוגמה 3 - מוצר שעולה 60 ריי, כאשר הוא נרכש במזומן, מקבל הנחה של 30%. קבע את הערך החדש עבור מוצר זה.
בדומה לתוספת, נצטרך:
באופן אנלוגי לתוספת, אנו יכולים להסיק א נוסחת הנחה. שקול ערך x ושהוא סובל מהנחה של p%. על פי מה שהגדרנו, אנו יכולים לכתוב תוספת זו באופן הבא:
x - p% של x
בפיתוח ביטוי זה, נצטרך:
בואו נעשה שוב דוגמה 3 בעזרת הנוסחה שלעיל, שימו לב ש- x = 60 והעלייה הייתה 30%, כלומר p = 30%.
x · (1 - 0.01p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
ראה שבאמצעות הנוסחה קיבלנו את אותה התוצאה, כך שבהנחה יש לנו גם שתי אפשרויות לקבוע אותה.
אינטרס פשוט
הרעיון מאחורי אינטרס פשוט זה גם דומה לרעיון התוספת, ההפרש ביניהם ניתן על ידי התקופה בה הם מחושבים. בעוד ששיעור ההיטלים מוחל פעם אחת, הריבית הפשוטה היא מחושב במרווח זמן. אנו יכולים לחשב את הריבית הפשוטה של הון נתון C, המיושמת בשיעור נתון במשטר ריבית פשוטה (i), בפרק זמן נתון t, על ידי נוּסחָה:
J = C · i · t
הסכום ששולם בסוף השקעה זו חייב להינתן על ידי הכסף שהופעל בתוספת סכום הריבית ונקרא סכום (M). הסכום ניתן על ידי הביטוי:
M = C + י
M = C + C · i · t
M = C (1 + זה)
הדאגה היחידה שעלינו להיות ביחס לבעיות הכרוכות בעניין פשוט היא עם קצב ויחידות מידה, הם חייבים להיות תמיד ביחידות שוות.
דוגמה 4
מרתה רוצה להשקיע 6000 דולר R $ בחברה שמבטיחה לייצר רווחים של 20% בשנה במסגרת משטר ריבית פשוט. החוזה שערכה מרתה קובע כי היא יכולה למשוך את הכסף רק לאחר חצי שנה, לקבוע מה הייתה ההחזר על כספה בסוף אותה תקופה.
בהתבוננות בהצהרה, ראו שההון שווה ל 6000, אז יש לנו C = 6000. הריבית היא 20% לשנה, והכסף יושקע למשך חצי שנה. שים לב שהשיעור ניתן בשנה והשעה בחודשים, ואנחנו יודעים שיחידת המידה של שניהם חייבת להיות זהה. בואו נמצא את העמלה החודשית, ראו:
אנו יודעים שהשיעור הוא 20% לשנה, שכן לשנה יש 12 חודשים, אז השיעור החודשי יהיה:
20%: 12
1.66% לחודש
0.016 לחודש
החלפת נתונים אלה בנוסחה, עלינו:
J = C · i · t
J = 6000 · 0.016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 reais
לכן הסכום שיש למשוך בתום חצי השנה הוא 576 ריי, והסכום הוא:
M = 6000 + 576
M = 6576 reais
קרא עוד: הבנת השימוש בא çמחשבון fכַּספִּי
רבית דרבית
בריבית פשוטה, ערך הריבית מחושב תמיד על גבי ההון הראשוני, ההפרש בין שתי מערכות אלו (ריבית פשוטה וריבית מורכבת) נמצאות בדיוק בנקודה זו, כלומר באופן השיעור מְחוֹשָׁב. בריבית דריבית, הריבית מחושבת תמיד מעל קרן החודש הקודםזה גורם לריבית להגדיל את ערכה באופן אקספוננציאלי. ה נוּסחָה לחישוב הריבית במערכת הפחתות בריבית דריבית ניתן על ידי:
M = C · (1 + i)t
על מה M הוא הסכום שנצבר, Ç הוא ערך ההון הראשוני, אני הוא שיעור הריבית שניתן באחוזים, ו t היא התקופה בה הושקע ההון במערכת. כמו עם ריבית פשוטה, במערכת הריבית הדו-חבית, השיעור והזמן חייבים להיות באותה יחידה.
דוגמה 5
חישב את סכום הסכום שמרתה תאסוף בסוף חצי השנה על ידי יישום 6000 הריז שלה בריבית של 20% לשנה במערכת הריבית הדחיסה.
(ניתן: 1.20,5 ≈ 1,095)
שים לב שהנתונים זהים לדוגמה 4, לכן עלינו:
C = 6000
i = 0.2 p.a.
t = 0.5 שנים
החלפת הנתונים בנוסחת ריבית דריבית, עלינו:
M = 6000 · (1 + 0.2)0,5
M = 6000 · (1.2)0,5
M = 6000 · 1,095
M = 6572.67 reais
לכן הסכום שיש למשוך על ידי מרתה במערכת הריבית הפשוטה הוא 6572, 67 reais. שים לב שהסכום במערכת הריבית הדחופה גדול יותר מאשר במערכת הריבית הפשוטה, וזה קורה בכל המקרים. כדי להבין טוב יותר כיצד מחושב שיעור זה, בקר בכתובת: עמלות çמולאתה.
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - (FGV - SP) הון המוחל על ריבית פשוטה בשיעור של 2.5% לחודש, שולש לפי:
א) 75 חודשים
ב) 80 חודשים
ג) 85 חודשים
ד) 90 חודשים
ה) 95 חודשים
פתרון הבעיה
חלופה ב '
עלינו למצוא את הזמן בו הריבית שווה ל- 2C, שכן עם הריבית בדרך זו יחד עם ההון המיושם בתחילה של C, יהיה לנו את הסכום של 3C (משולש מההון). לכן:
J = 2C; C = C; i = 2.5% לחודש; t =?
J = C · i · t
2C = C · 0.025 · t
לפיכך, זמן השלשת ההון הזה הוא 80 חודשים.
הערה: 80 חודשים שווה 6.6 שנים.
שאלה 2 - סחורה, לאחר שספגה עלייה של 24%, שונתה מחירה ל 1041.60 reais. קבעו את הכמות לפני ההוספה.
פתרון הבעיה
אנו יכולים להשתמש בנוסחת התוספת הכללית כדי לקבוע את ערך הסחורה לפני התוספת.
x · (1 + 0.01p)
בנוסחה, הערך x הוא מה שאנחנו מחפשים ו- p הוא ערך התוספת, וביטוי זה נותן לנו את ערך המוצר לאחר התוספת, ומכאן:
1041.60 = x · (1 + 0.01p)
1041.60 = x · (1 + 0.01 · 24)
1041.60 = x · (1 + 0.24)
1041.60 = x · 1.24
ראו שיש לנו משוואה של המעלה הראשונה, כדי לפתור אותה, עלינו לבודד את ה- x הלא ידוע, לחלק את שני צידי השוויון ב- 1.24, או בפשטות לעבור את ההפרדה 1.24. לכן:
לכן, ערך הסחורה לפני התוספת היה 840 reais.
מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה
חברה מנכה אחוז מסוים משכרם העובדי של תוכנית פנסיה פרטית. ההנחה היא p% על 28,000.00 BRL מההכנסה השנתית, בתוספת (p + 2)% על סכום השכר השנתי העולה על 28,000.00 BRL. לז'ואו הייתה הנחה כוללת של (p + 0.25)% משכרו השנתי לתוכנית הפנסיה הפרטית. המשכורת השנתית של ג'ואו, ב reais, ללא ההנחה בתכנית הפנסיה היא:
א) 28,000.00.
ב) 32,000.00.
ג) 35,000.00.
ד) 42,000.00.
ה) 56,000.00.
תשואת חשבון החיסכון הייתה 0.68% ו- 0.54% בינואר ובפברואר 2009, בהתאמה. מדד המחירים לצרכן, באותם חודשים, היה 0.46% ו- 0.27% בהתאמה. קבע בסוף פברואר 2009 את הרווח הריאלי מהשקעה בחשבון חיסכון (רווח מ מינוף האינפלציה הנמדד במדד המחירים לצרכן) שנצבר מאז ינואר 2009.
