או המשולש של פסקל זה כלי ישן למתמטיקה. לאורך ההיסטוריה היא קיבלה כמה שמות, אך המאומצים ביותר כיום הם משולש חשבון ומשולש פסקל. השם השני הוא מחווה למתמטיקאי שתרם כמה תרומות לחקר המשולש הזה. פירושו שהמשולש הומצא על ידו, אך הוא זה שעשה מחקר מעמיק יותר בנושא זה כְּלִי.
מהתכונות של המשולש של פסקל, אפשר לבנות אותו באופן הגיוני. גם בולט שלך מערכת יחסים עם שילובים למד בניתוח קומבינטורי. המונחים של משולש פסקל תואמים גם למקדמים בינומיים ולכן הם שימושיים מאוד לחישוב כל בינום ניוטון.
קרא גם: מכשיר בריוט-רופיני - שיטה לחלוקת פולינומים
בניית המשולש של פסקל
המשולש של פסקל מיוצר מתוצאת השילוביםעם זאת יש שיטה מעשית שמאפשרת את הדרך לבנייתו. השורה הראשונה והעמודה הראשונה נספרות כשורה אפס ועמודה אפס. אנו יכולים להשתמש בכמה שורות לפי הצורך בבנייה זו, ולכן המשולש יכול להיות בעל אינסוף קווים. הנימוק להרחבת השורות הוא תמיד זהה. תראה:
אנחנו יודעים את זה מונחי משולש הם שילובים, למד ב ניתוח קומבינטורי. להחלפת המשולש של פסקל בערכים מספריים, אנו יודעים שהשילובים של מספר עם אפס ומספר עם עצמו תמיד שווים ל- 1. לכן הערכים הראשונים והאחרונים הם תמיד 1.
כדי למצוא את האחרים, אנו מתחילים בשורה 2, מכיוון ששורה 0 ושורה 1 כבר הושלמו. בשורה 2, כדי למצוא את השילוב בין 2 ל -1, בשורה שלמעלה, כלומר בשורה 1, בואו נוסיף את המונח שמעליו באותה העמודה ואת המונח שמעליו בעמודה הקודמת, כפי שמוצג בתמונה :
לאחר בניית קו 2, ניתן לבנות את קו 3 המבצע את אותה ההליך.
בהמשך להליך זה, נמצא את כל המונחים - במקרה זה, עד שורה 5 - אך ניתן לבנות כמה שיותר שורות.
מאפייני משולש פסקל
יש כמה תכונות המשולש של פסקל, בשל הסדירות בבנייתו. מאפיינים אלה שימושיים לעבודה עם קומבינציות, בניית קו משולש עצמו וסכום הקווים, העמודות והאלכסונים.
נכס ראשון
המאפיין הראשון היה זה שהשתמשנו בו לבניית המשולש. אז ל מצא מונח במשולש של פסקל, פשוט הוסף את המונח שנמצא בשורה שמעליו ואת אותה עמודה עם המונח שנמצא בעמודה ובשורה לפניה. ניתן לייצג נכס זה באופן הבא:
נכס זה מכונה מערכת היחסים של סטיפל וחשוב להקל על בניית המשולש ולמצוא את הערכים של כל אחד מהקווים.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
נכס שני
סכום כל המונחים בשורה מחושב על ידי:
סלא=2לא, על מה לא הוא מספר השורה.
דוגמאות:
עם מאפיין זה, ניתן לדעת סכום כל התנאים בשורה בלי שיהיה צורך לבנות את המשולש של פסקל. את סכום השורה 10, למשל, ניתן לחשב על ידי 210 = 1024. למרות שלא כל המונחים ידועים, כבר ניתן לדעת את שווי הסכום של השורה כולה.
נכס שלישי
סכום המונחים המופיע ברצף מתחילת טור נתון פ עד לקו מסוים לא זהה למונח על הקו n +1 גב ועמודה p +1 מאוחר יותר, כמוצג להלן:
נכס רביעי
סכום האלכסון שמתחיל בעמודה 0 ועובר למונח בעמודה p ושורה n שווה למונח באותה עמודה (p), אך בשורה למטה (n + 1), כפי שמוצג בתמונה :
נכס 5
יש סימטריה בשורות המשולש של פסקל. המונח הראשון והשני שווים, המונח השני ולפני אחרון שווים וכו '.
דוגמא:
קו 6: 1615 20 156 1.
שימו לב שהתנאים שווים שניים לשניים, למעט המונח המרכזי.
ראה גם: חלוקה פולינומית: כיצד לפתור אותה?
הבינום של ניוטון
אנו מגדירים את הדף הבינומי של ניוטון כוח של אחד פולינום שיש לו שני מונחים. חישוב בינום קשור למשולש פסקל שהופך למנגנון לחישוב מה שאנו מכנים מקדמי בינום. לצורך חישוב בינומי, אנו משתמשים בנוסחה הבאה:
שים לב שהערך המעריך של ה זה פוחת עד שבמונח האחרון הוא שווה ל- ה0. אנו יודעים שכל מספר שמוגדל ל- 0 שווה ל- 1 ומכאן המונח ה לא מופיע בקדנציה האחרונה. שים לב גם כי המעריך של ב מתחיל עם ב0, בקרוב ב לא מופיע בקדנציה הראשונה וגדל עד שמגיע בלא, בקדנציה האחרונה.
יתר על כן, המספר הנלווה לכל אחד מהמונחים הוא מה שאנו מכנים מקדם - במקרה זה המכונה מקדם בינומי. כדי להבין טוב יותר כיצד לפתור סוג בינומי זה, גש לטקסט שלנו: הבינום של ניוטון.
מקדם בינומי
המקדם הבינומי הוא לא יותר מהשילוב, שניתן לחשב באמצעות הנוסחה:
עם זאת, כדי להקל על חישוב הבינום של ניוטון, חיוני להשתמש במשולש פסקל, מכיוון שהוא נותן לנו את תוצאת השילוב מהר יותר.
דוגמא:
כדי למצוא את התוצאה של המקדם הבינומי, בואו נמצא את הערכים של שורה 5 במשולש של פסקל, שהם {1,5,10,10,5,1}.
(x + y)5= 1x5+ פי 54y + פי 103y2+ פי 102y3 + 5xy4+ 1y5
פשוט שים:
(x + y)5= x5+ פי 54y + פי 103y2+ פי 102y3 + 5xy4+ y5
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - ערך הביטוי למטה הוא?
א) 8
ב) 16
ג) 2
ד) 32
ה) 24
פתרון הבעיה
חלופה א '.
אנו מקבצים מחדש את הערכים החיוביים והשליליים:
שימו לב שאנחנו למעשה מחשבים את החיסור בין קו 4 לשורה 3 של המשולש של פסקל. לפי רכוש, אנו יודעים כי:
ס4 = 24 = 16
ס3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
שאלה 2 - מה ערך הביטוי למטה?
א) 32
ב) 28
256)
ד) 24
ה) 54
פתרון הבעיה
חלופה ב '
שים לב שאנחנו מוסיפים את המונחים מעמודה 1 של המשולש של פסקל לשורה 7, ואז לשלישית נכס, ערך הסכום הזה שווה למונח שתופס שורה 7 + 1 ועמודה 1 + 1, כלומר שורה 8, טור 2. מכיוון שאנחנו רוצים רק ערך אחד, בניית משולש פסקל כולו אינה נוחה.
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
