ה אֵזוֹר על אחד מוצקגֵאוֹמֶטרִי ניתן להשיג אותו על ידי סכום השטחים של כל אחת מהדמויות הגיאומטריות המרכיבות אותו. טטרהדרון, למשל, הוא א פִּירָמִידָה של בסיס משולש. פירמידה זו נוצרת על ידי ארבע משולשים: בסיס אחד ושלושה פרצופים צדדיים. הוספת השטחים של כל אחד מהמשולשים הללו יחד, נקבל את שטח הטטרהדרון.
טטרהדרון רגיל מימין ומישורו משמאל
להלן הנוסחאות המשמשות לחישוב השטח של כמה מוצקים גיאומטריים ודוגמאות לשימוש בהן.
אזור מרוצף אבנים
שקול א מַרצֶפֶת שאורכו מודד "x", הרוחב מודד "y" והגובה מודד "z", כמו באיור הבא:
הנוסחה המשמשת לחישוב שלך אֵזוֹר é:
A = 2xy + 2yz + 2xz
אותה נוסחה חלה על ה- אזור קוביות, שזה מקרה מיוחד של מַרצֶפֶת. עם זאת, מכיוון שכל קצוות הקוביה זהים, זה נוּסחָה יכול להיות מוּפחָת. לפיכך, שטח קוביית הקצה L נקבע על ידי:
A = 6L2
דוגמה 1
מה השטח של א לַחסוֹםמַלבֵּנִי עם אורך ורוחב שווים 10 ס"מ וגובה שווה 5 ס"מ?
כאורך = רוחב = 10 ס"מ, יהיה לנו x = 10 ו- y = 10. כגובה = 5 ס"מ, יהיה לנו z = 5. באמצעות הנוסחה לאזור המקביל, יהיה לנו:
A = 2xy + 2yz + 2xz
A = 2 · 10 · 10 + 2 · 10 · 5 + 2 · 10 · 5
A = 200 + 100 + 100
H = 400 ס"מ2
דוגמה 2
מה שטח הקוביה שקצהו 10 ס"מ?
A = 6L2
A = 6 · 102
A = 6 · 100
H = 600 ס"מ2
אזור צילינדר
בהינתן צִילִינדֶר של רדיוס r וגובה h, מאויר באיור למטה, א נוּסחָה משמש לחישוב שלך אֵזוֹר é:
A = 2πr (r + h)
דוגמה 3
לקבוע את אֵזוֹר של גליל שגובהו 40 ס"מ וקוטרו 16 ס"מ. שקול π = 3.
לעזאזל מעגל שווה לחצי מקוטרו (16: 2 = 8). לפיכך, רדיוס בסיס הגליל שווה ל 8 ס"מ. פשוט החלף ערכים אלה בנוסחה:
A = 2πr (r + h)
A = 2 · 3 · 8 (8 + 40)
A = 2 · 3 · 8 · 48
A = 6 · 384
H = 2304 ס"מ2
אזור חרוט
הנוסחה המשמשת לקביעת ה- אזור חרוט é:
A = πr (r + g)
האיור הבא מראה כי r הוא רדיוס החרוט ו- g הוא המדד לגנרטריקס שלו.
דוגמה 4
לחשב את אֵזוֹר על אחד קוֹנוּס שקוטרו 24 ס"מ וגובהו 16 ס"מ. שקול π = 3.
לגלות את מידהנותןגנרטריקס של החרוט, השתמש בביטוי הבא:
ז2 = r2 + h2
מכיוון שרדיוס החרוט שווה לחצי מקוטרו, מידת הרדיוס היא 24: 2 = 12 ס"מ. החלפת הערכים בביטוי יהיה לנו:
ז2 = r2 + h2
ז2 = 122 + 162
ז2 = 144 + 256
ז2 = 400
g = √400
g = 20 ס"מ
החלפת רדיוס החרוט ומדידת הגנרטריקס ב נוּסחָה ב אֵזוֹר, תהיה לנו:
A = πr (r + g)
A = 3 · 12 (12 + 20)
A = 36 · 32
H = 1152 ס"מ2
אזור כדור
הנוסחה המשמשת לחישוב ה- אזור כדור של רדיוס r הוא:
A = 4πr2
דוגמה 5
חשב את שטח הכדור בתמונה הבאה. שקול π = 3.
משתמש ב נוּסחָהנותןאֵזוֹר נותן כַּדוּר, תהיה לנו:
A = 4πr2
A = 4 · 3 · 52
A = 12 · 25
H = 300 ס"מ2
אזור פירמידה
אתה מנסרות ו פירמידות אין לך נוּסחָהספֵּצִיפִי לחישוב אֵזוֹר, מכיוון שצורת פניה לרוחב ובסיסיה משתנה מאוד. עם זאת, תמיד ניתן לחשב את השטח של מוצק גיאומטרי על ידי שיטוחו והוספת האזורים הבודדים של כל אחד מפניו.
כאשר מוצקים אלה ישרים, כמו פּרִיזמָהיָשָׁר וה פִּירָמִידָהיָשָׁר, אפשר להזדהות יחסים בין ה אמצעים של הפנים לרוחב שלה.
ראה גם:חישוב שטח פריזמה
דוגמה 6
אחד פִּירָמִידָה ישר עם בסיס מרובע יש apothema שווה 10 ס"מ וקצה בסיס שווה 5 ס"מ. מה האזור שלך?
כדי לפתור דוגמה זו, עיין בתמונת הפירמידה למטה:
פירמידה ישרה עם בסיס מרובע וכל פניה הצדדיים חופפים. לכן, פשוט חישבו את השטח של אחד מהם, הכפלו את התוצאה ב- 4 והוסיפו זאת לתוצאה המתקבלת בחישוב של אזור בסיס הפירמידה.
כדי לחשב את השטח של אחד המשולשים הללו, אנו זקוקים למדוד גובהו. מידה זו שווה לאפוטמה של הפירמידה, ולכן 10 ס"מ. בנוסחה הבאה, האפוטמה תוצג באות ח. בנוסף, כל בסיסי המשולשים הם חופפים, מכיוון שכולם צדדים של א כיכר ולמדוד 5 ס"מ.
שטח פנים צדדי:
A = bh
2
A = 5·10
2
A = 50
2
H = 25 ס"מ2
שטח ארבע הפנים לרוחב:
A = 4 · 25
H = 100 ס"מ2
שטח הבסיס (השווה לשטח הריבוע):
A = 12
A = 52
H = 25 ס"מ2
שטח כולל של פירמידה זו:
A = 100 + 25 = 125 ס"מ2
אזור פריזמה
כאמור, אין נוסחה ספציפית לאזור הפריזמה. עלינו לחשב את השטח של כל אחד מפניו ולהוסיף אותם בסוף.
דוגמה 7
מה ה אזור פריזמה בסיס ישר כיכר, בידיעה שגובה המוצק הזה הוא 10 ס"מ וכי שולי בסיסו מודדים 5 ס"מ?
פִּתָרוֹן:
למטה, ראה תמונה של המנסרה המדוברת כדי לסייע בבניית הפיתרון:
התרגיל מודיע כי בסיסשֶׁלפּרִיזמָה זה מרובע. יתר על כן, שני בסיסי הפריזמה חופפים, כלומר מציאת השטח של אחד מבסיסים אלה, פשוט הכפל את המדידה הזו ב -2 כדי לקבוע את השטח של שני בסיסי הפריזמה.
הב = 12
הב = 52
הב = 25 ס"מ2
כמו כן, מכיוון שיש לו בסיס מרובע, קל לראות שיש לו ארבעפרצופיםצדדים, שגם הם חופפים, מכיוון שהמוצק הוא ישר. אז, למצוא את השטח של אחד הפרצופים לרוחב, פשוט הכפל ערך זה ב -4 כדי למצוא את השטח לרוחב של הפריזמה.
הפל = b · h
הפל = 5·10
הפל = 50 ס"מ2
השם = 4Aפל
השם = 4·50
השם = 200 ס"מ2
ה אֵזוֹרסך הכלשֶׁלפּרִיזמָה é:
A = Aב + אשם
A = 25 + 200
H = 225 ס"מ2
מאת לואיז פאולו סילבה
תואר במתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-solidos-geometricos.htm