עד אמצע המאה ה -16, משוואות כמו x2 - 6x + 10 = 0 פשוט נחשבו "ללא פיתרון". הסיבה לכך היא שעל פי הנוסחה של בהאסקרה, כאשר פותרים משוואה זו, התוצאה שנמצאה תהיה:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
הבעיה נמצאה ב- √– 4, שאין לה פיתרון בתוך מכלול המספרים האמיתיים, כלומר לא יש מספר ממשי שמכפיל את עצמו מניב √– 4, שכן 2 · 2 = 4 ו- (–2) (- 2) = 4.
בשנת 1572, רפאל בומבלי היה עסוק בפתרון המשוואה x3 - 15x - 4 = 0 באמצעות הנוסחה של Cardano. באמצעות נוסחה זו מסיקים כי למשוואה זו אין שורשים אמיתיים, מכיוון שבסופו של דבר יש צורך לחשב √– 121. עם זאת, לאחר מספר ניסיונות, ניתן למצוא כי 43 - 15 · 4 - 4 = 0 ולכן ש- x = 4 הוא שורש למשוואה זו.
בהתחשב בקיומם של שורשים אמיתיים שאינם באים לידי ביטוי בנוסחה של קרדאנו, היה לבומבי הרעיון להניח ש- √– 121 יביא ל- √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 וזה יכול להיות שורש "לא אמיתי" למשוואה מְחוֹשָׁב. לפיכך, √– 121 יהיה חלק מסוג חדש של מספר המרכיב את שורשיה הלא מבוססים האחרים של משוואה זו. אז משוואת x3 - 15x - 4 = 0, שיש לו שלושה שורשים, יהיה x = 4 כשורש האמיתי ושני שורשים אחרים השייכים לסוג המספר החדש הזה.
בסוף המאה ה -18, גאוס כינה מספרים אלה בשם מספרים מסובכים. באותה תקופה, המספרים המורכבים כבר קיבלו את הטופס a + bi, עם i = √– 1. יתר על כן, ה ו ב הם כבר נחשבו לנקודות של מטוס קרטזי, המכונה מטוס הארגנד-גאוס. לפיכך, למספר המורכב Z = a + bi היה הייצוג הגיאומטרי שלו נקודה P (a, b) של המישור הקרטזיאני.
לכן הביטוי "מספרים מסובכים”התחיל לשמש בהתייחס למערכת המספרית שנציגיה הם: Z = a + bi, עם i = √– 1 ועם ה ו ב השייכת למכלול המספרים האמיתיים. ייצוג זה נקרא צורה אלגברית של המספר המורכב Z.
מכיוון שמספרים מורכבים נוצרים על ידי שני מספרים ממשיים ואחד מהם מוכפל ב √– 1, המספרים האמיתיים הללו קיבלו שם מיוחד. בהתחשב במספר המורכב Z = a + bi, a הוא "החלק האמיתי של Z" ו- b הוא "החלק המדומה של Z". מתמטית נוכל לכתוב בהתאמה: Re (Z) = a ו- Im (Z) = b.
רעיון המודול של מספר מורכב מתגבש באופן אנלוגי לרעיון המודול של מספר ממשי. בהתחשב בנקודה P (a, b) כייצוג גיאומטרי של המספר המורכב Z = a + bi, המרחק בין הנקודה P לנקודה (0,0) ניתן על ידי:
| Z | = √(ה2 + ב2)
דרך שנייה לייצג מספרים מורכבים היא באמצעות צורה קוטבית או טריגונומטרית. צורה זו משתמשת במודול של מספר מורכב בחוקתה. ניתן לייצג את המספר המורכב Z, באופן אלגברי Z = a + bi, בצורה הקוטבית על ידי:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
מעניין לציין כי המישור הקרטזיאני מוגדר על ידי שני קווים אורתוגונליים, המכונים צירי x ו- y. אנו יודעים כי ניתן לייצג מספרים אמיתיים על ידי קו עליו ממוקמים כל המספרים הרציונליים. החללים הנותרים מלאים במספרים הלא רציונליים. ואילו המספרים האמיתיים כולם על הקו המכונה ציר X מהמישור הקרטזיאני, כל שאר הנקודות השייכות למישור זה יהיו ההבדל בין מספרים מורכבים למספרים ממשיים. לפיכך, קבוצת המספרים האמיתיים כלולה בקבוצת המספרים המורכבים.
מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm
